Đề bài
Cho tam giác \[ABC,\] \[D\] là trung điểm của \[AB,\] \[E\] là trung điểm của \[AC.\] Gọi \[O\] là một điểm bất kì nằm trong tam giác \[ABC.\] Vẽ điểm \[M\] đối xứng với \[O\] qua \[D,\] vẽ điểm \[N\] đối xứng với \[O\] qua \[E.\] Chứng minh rằng \[MNCB\] là hình bình hành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Tứ giác có haiđường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+] Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác \[AOBM:\]
\[DA = DB\] [do D là trung điểm của AB]
\[DO = DM\] [định nghĩa đối xứng tâm]
Suy ra: Tứ giác \[AOBM\] là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường]
\[ BM // AO\] và \[BM = AO \;\;[1]\]
Xét tứ giác \[AOCN:\]
\[EA = EC\][do E là trung điểm của AC]
\[EO = EN\] [định nghĩa đối xứng tâm]
Suy ra: Tứ giác \[AOCN\] là hình bình hành [ vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường]
\[ CN // AO\] và \[CN = AO\;\; [2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[BM // CN\] và \[BM = CN\]
Vậy : Tứ giác \[BMNC\] là hình bình hành [ vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]