Đề bài
Cho điểm \[A\] nằm trên đường thẳng \[d,\] điểm \[B\] nằm ngoài đường thẳng \[d.\] Dựng đường tròn \[[O]\] đi qua \[A\] và \[B,\] nhận đường thẳng \[d\] làm tiếp tuyến.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Phân tích:
+] Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+] Chọn ra các yếu tố dựng được ngay [đoạn thẳng, tam giác,...]
+] Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản [Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.]
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải chi tiết
*Phân tích
Giả sử dựng được đường tròn \[[O]\] qua \[A,\] \[B\] và tiếp xúc với \[d.\] Khi đó đường tròn \[[O]\] phải tiếp xúc với \[d\] tại \[A.\]
Đường tròn \[[O]\] đi qua \[A\] và \[B\] nên tâm \[O\] nằm trên đường trung trực của \[AB.\]
Đường tròn \[[O]\] tiếp xúc với \[d\] tại \[A\] nên điểm \[O\] nằm trên đường thẳng vuông góc với \[d\] tại điểm \[A.\]
*Cách dựng
Dựng đường thẳng trung trực của \[AB.\]
Dựng đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[d.\] Đường thẳng này cắt đường trung trực của \[AB\] tại \[O.\]
Dựa đường tròn \[[ O; OA]\] ta được đường tròn cần dựng.
*Chứng minh
Vì \[O\] nằm trên đường trung trực của \[AB\] nên \[OA = OB.\] Khi đó đường tròn \[[O; OA]\] đi qua hai điểm \[A\] và \[B.\]
Ta có: \[OA\] vuông góc với \[d\] tại \[A\] nên \[d\] là tiếp tuyến của \[[O].\]
Vậy \[[O]\] thỏa mãn điều kiện bài toán.
* Biện luận: Ta luôn dựng được một đường tròn thỏa mãn điều kiện của đề bài.