Đề bài
Hãy tìm diện tích của tam giác cân có góc ở đáy bằng \[α\] nếu biết:
a] Cạnh bên bằng \[b ;\]
b] Cạnh đáy bằng \[a.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có\[AB=c,\,AC=b,\, BC=a\]thì:
\[b=a.sin\,B=a.cos\,C\]
\[b=c.tan\,B=c.cot\,C\]
\[c=a.sin\,C=a.cos\,B\]
\[c=b.tan\,C=b.cot\,B\]
Lời giải chi tiết
Xét tam giác cân \[ABC\] có \[AB = AC,\] \[\widehat {ABC} = \alpha, \] đường cao \[AH\]
a] \[AB = AC = b\]
Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:
\[AH =AB.\sinα= b.\sinα,\] \[ BH =AB.\cos α= b.cosα\] nên diện tích tam giác \[ABC\] là
\[\eqalign{
& S = {1 \over 2}AH.BC = AH.BH \cr
& = {b^2}\sin \alpha \cos \alpha . \cr} \]
b] \[BC = a\]
Vì AH là đường cao của tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến. Suy ra\[BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\]
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: \[AH =BH.\tan \alpha = \eqalign{a \over 2}tan\alpha \]
nêndiện tích tam giác \[ABC\] là:\[S = \eqalign{1 \over 2}.BC.AH\]\[=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}\tan \alpha = \eqalign{{{a^2}} \over 4}tan\alpha \].