Đề bài
Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp:
\[ \displaystyle{1 \over {\sqrt 2 + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4 + \sqrt 3 }}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
\[\dfrac{A}{{\sqrt B \pm \sqrt C }} = \dfrac{{A[\sqrt B \mp \sqrt C]}}{{B - C}}\] với \[B, C\ge 0; B\ne C\].
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[ \displaystyle{1 \over {\sqrt 2 + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4 + \sqrt 3 }}\]
\[ \displaystyle = {{\sqrt 2 - \sqrt 1 } \over {[\sqrt 2 + \sqrt 1 ][\sqrt 2 - \sqrt 1 ]}} \]\[\displaystyle+ {{\sqrt 3 - \sqrt 2 } \over {[\sqrt 3 + \sqrt {2]} [\sqrt 3 - \sqrt 2 ]}} \]\[\displaystyle+ {{\sqrt 4 - \sqrt 3 } \over {[\sqrt 4 + \sqrt 3 ][\sqrt 4 - \sqrt 3 ]}}\]
\[ \displaystyle = {{\sqrt 2 - \sqrt 1 } \over {2 - 1}} \]\[\displaystyle+ {{\sqrt 3 - \sqrt 2 } \over {3 - 2}} \]\[\displaystyle+ {{\sqrt 4 - \sqrt 3 } \over {4 - 3}}\]
\[ \displaystyle = \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 \]\[ + \sqrt 4 - \sqrt 3 \]
\[ \displaystyle = - \sqrt 1 + \sqrt 4 \]\[ = - 1 + 2 = 1\]