Đề bài
Cho góc nhọn \[xOy,\] điểm \[A\] nằm trong góc đó. Dựng điểm \[B\] thuộc tia \[Ox,\] điểm \[C\] thuộc tia \[Oy\] sao cho tam giác \[ABC\] có chu vi nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \[d\] nếu \[d\] là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Lời giải chi tiết
Cách dựng:
- Dựng điểm \[D\] đối xứng với \[A\] qua \[Ox\]
- Dựng điểm \[E\] đối xứng với \[A\] qua tia \[Oy\]
- Nối \[DE\] cắt \[Ox\] tại \[B, Oy\] tại \[C\]
Tam giác \[ABC\] là tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Vì \[\widehat {xOy} < {90^0}\] nên \[DE\] luôn cắt \[Ox\] và \[Oy\] do đó \[ ABC\] luôn dựng được.
Chứng minh:
Chu vi \[ ABC\] bằng \[AB + BC + AC\]
Vì \[D\] đối xứng với \[A\] qua \[Ox\] nên \[Ox\] là đường trung trực của \[AD\]
\[ AB = BD\] [ tính chất đường trung trực]
\[E\] đối xứng với \[A\] qua \[Oy\] nên \[Oy\] là đường trung trực của \[AE\]
\[AC = CE\] [ tính chất đường trung trực]
Suy ra: \[AB + BC + AC \]\[= BD + BC + CE = DE \;\;[1]\]
Lấy \[B\] bất kì trên \[Ox,\] \[C\] bất kì trên tia \[Oy.\] Nối \[CE,\] \[CA,\] \[BA,\] \[BD.\]
Ta có: \[BA = BD\] [ tính chất đường trung trực]
\[CA = CE\] [tính chất đường trung trực]
Chu vi \[ ABC\] bằng \[AB + AC + BC\]\[ = BD + BC +CE \;\;[2]\]
Vì \[DE BD + BC + CE\] [dấu bằng sảy ra khi \[B\] trùng \[B,\] \[C\] trùng \[C\]]
nên chu vi của \[ ABC \] chu vị của \[ ABC\]
Vậy \[ ABC\] có chu vi bé nhất.