Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\], \[\widehat C = 30^\circ,\]\[BC = 10cm.\]
a]Tính \[AB, AC.\]
b]Từ \[A\] kẻ \[AM, AN\] lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc \[B\].
Chứng minh: \[MN // BC\] và \[MN = AB.\]
c]Chứng minh hai tam giác \[MAB\] và \[ABC\] đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức :
a] Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
b] Dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình chữ nhật.
c] Các trường hợp đồng dạng của tam giác.
Lời giải chi tiết
a] Trong tam giác vuông \[ABC\], ta có:
\[AB = BC.\sin \widehat C = 10.\sin 30^\circ\]\[ = 10.\displaystyle {1 \over 2} = 5\,[cm]\]
\[AC = BC.\cos \widehat C = 10.\cos 30^\circ \]\[= 10.\displaystyle{{\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 \,[cm]\]
b]Ta có:
\[BM \bot BN\] [hai tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau] \[ \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ \,[1]\]
\[AM \bot BM\] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {AMB} = 90^\circ \,[2]\]
\[AN \bot BN\] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {ANB} = 90^\circ \,[3]\]
Từ [1], [2] và [3] suy ra tứ giác \[AMBN\] là hình chữ nhật.
Suy ra \[AM=BN, BM=AN, AB=MN\] [tính chất hình chữ nhật]
Suy ra: \[AMB = NBM\] [c.g.c]
\[\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {NMB}\]
Mà \[\widehat {ABM} = \widehat {MBC}\,[gt]\]
Suy ra: \[\widehat {NMB} = \widehat {MBC}\]
Suy ra \[MN // BC\] [có cặp so le trong bằng nhau]
Vì \[AMBN\] là hình chữ nhật nên \[AB = MN\].
c]Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \[\widehat{ABC} + \widehat C = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {ABM} = \displaystyle{1 \over 2}\widehat{ABC} = {1 \over 2}.60^\circ = 30^\circ \]
Xét hai tam giác \[ABC\] và \[MAB\], ta có:
\[\widehat {BAC} = \widehat {AMB} = 90^\circ \]
\[\widehat {ACB} = \widehat {ABM} = 30^\circ \]
Suy ra \[ABC\] đồng dạng với \[MAB\] [g.g]
Tỉ số đồng dạng: \[k = \displaystyle{{AB} \over {BC}} = {5 \over {10}} = {1 \over 2}\]