\[ \displaystyle\eqalign{& {\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} \ge 0 \cr& \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \]
Đề bài
Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:
\[ \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \]
[Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm].
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{[a - b]^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\]
Với\[{\rm{A}} \ge {\rm{0}}\] thì\[A = \sqrt {{A^2}} \]
Lời giải chi tiết
Vì \[a 0\] nên \[ \displaystyle\sqrt a \] xác định, \[ b 0\] nên \[ \displaystyle\sqrt b \] xác định
Ta có:
\[ \displaystyle\eqalign{
& {\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \]
\[ \displaystyle \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \]
Dấu đẳng thức xảy ra khi \[ a = b\].