Đề bài
Cho đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\]. Dây \[CD\] cắt đường kính \[AB\] tại \[I\]. Gọi \[H\] và \[K\] theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \[A\] và \[B\] đến \[CD\]. Chứng minh rằng \[CH = DK.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Áp dụng định lí :Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+ Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Lời giải chi tiết
Kẻ \[OM CD\] cắt \[AD\] tại \[N.\]
Xét đường tròn [O] có \[OM CD\] tại M mà OM là 1 phần đường kính và CD là dây của đường tròn nên \[MC = MD\] [ đường kính vuông góc với dây thi đi qua trung điểm của dây đó ]
Hay \[MH + CH = MK + KD\] [1]
Ta có: \[OM // BK\] [cùng vuông góc với CD]
Hay: \[NO // BK\]
Xét tam giác AKB có\[NO // BK\] và \[OA = OB [= R]\]
Suy ra: \[NA = NK\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Lại có: \[OM // AH\] [ cùng vuông góc với CD]
Hay: \[MN // AH\]
Xét tam giác AKH có\[MN // AH\] và \[NA = NK\] [chứng minh trên]
Suy ra: \[MH = MK\] [ tính chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[CH = DK.\]