Đề bài
Cho hình thang cân \[ABCD,\] đường cao \[AH.\] Gọi \[E,\, F\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên \[AD,\, BC.\] Chứng minh rằng \[EFCH\] là hình bình hành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính chất đường trung bình của hình thang
Tính chất tam giác vuông [đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy]
Lời giải chi tiết
Ta có: \[E\] là trung điểm của \[AD\] [gt]
\[F\] là trung điểm của \[BC\] [gt]
Nên \[EF\] là đường trung bình của hình thang \[ABCD\]
\[ EF // CD\] hay \[EF // CH\] [*]
\[ AHD\] vuông tại \[H\] có \[HE\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AD.\]
Ta có: \[HE = ED = \dfrac{1}{2}AD\] [tính chất tam giác vuông]
\[ EDH\] cân tại \[E\]
\[ \Rightarrow \widehat D = {\widehat H_1}\] [tính chất tam giác cân]
\[\widehat D = \widehat C\] [vì ABCD là hình thang cân]
Suy ra: \[{\widehat H_1} = \widehat C\]
\[ EH // CF\] [**] [vì có cặp góc đồng vị bằng nhau]
Từ [*] và [**] suy ra tứ giác \[EFCH\] là hình bình hành[1 cặp cạnh song song và bằng nhau].