Đề bài
Hình chữ nhật \[ABCD\] có \[AB = 2AD.\] Gọi \[P,\, Q\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB,\, CD.\] Gọi \[H\] là giao điểm của \[AQ\] và \[DP,\] gọi \[K\] là giao điểm của \[CP\] và \[BQ.\] Chứng minh rằng \[PHQK\] là hình vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng dấu hiệu nhận biết của các hình đã học để tìm lời giải cho bài toán.
Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật
Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác \[APQD\] ta có:
\[AB // CD\] [gt] hay \[AP // QD\]
\[AP =\] \[\displaystyle {1 \over 2}\]\[AB\] [gt]
\[QD =\] \[\displaystyle{1 \over 2}\]\[CD\] [gt]
\[AB= CD\] [vì ABCD là hình chữ nhật]
Suy ra: \[AP = QD\] nên tứ giác \[APQD\] là hình bình hành.
Lại có: \[\widehat A = {90^0}\][vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật]
Suy ra: Tứ giác \[APQD\] là hình chữ nhật
Mà \[AD = AP =\] \[\displaystyle{1 \over 2}\]\[AB\]
Vậy : Tứ giác \[APQD\] là hình vuông
\[ AQ PD\] [tính chất hình vuông] \[ \Rightarrow \widehat {PHQ} = {90^0}\] [1]
\[HP = HQ\] [tính chất hình vuông]
- Xét tứ giác \[PBCQ\] ta có:
\[PB // CD\]
\[PB =\] \[\displaystyle{1 \over 2}\]\[AB\] [gt]
\[CQ =\] \[\displaystyle{1 \over 2}\]\[CD\] [gt]
\[AB = CD\] [do ABCD là hình chữ nhật]
Suy ra: \[PB = CQ\] nên tứ giác \[PBCQ\] là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
Lại có: \[\widehat B = {90^0}\] [vì ABCD là hình chữ nhật]suy ra tứ giác \[PBCQ\] là hình chữ nhật
Mà \[PB = BC\] [vì cùng bằng \[AD =\] \[\displaystyle{1 \over 2}\]\[AB\]]
Vậy: Tứ giác \[PBCQ\] là hình vuông
\[ PC BQ\] [tính chất hình vuông] \[ \Rightarrow \widehat {PKQ} = {90^0}\][2]
\[PD\] là tia phân giác \[\widehat {APQ}\] [tính chất hình vuông]
\[PC\] là tia phân giác \[\widehat {QPB}\] [tính chất hình vuông]
Suy ra: \[PD PC\] [tính chất tia phân giác củahai góc kề bù] \[ \widehat {HPK} = {90^0}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra tứ giác \[PHQK\] là hình chữ nhật có \[HP = HQ\] [chứng minh trên] nên \[PHQK\] là hìnhvuông.