Đề bài
Cho hình vuông \[ABCD\] có \[AB =\] \[3\] cm
Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[K\] sao cho \[BK =\] \[1\] cm
Trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[L\] sao cho \[CL =\] \[1\] cm
Trên tia đối của tia \[DC\] lấy điểm \[M\] sao cho \[MD =\] \[1\] cm
Trên tia đối của tia \[AD\] lấy điểm N sao cho \[NA =\] \[1\] cm
Chứng minh KLMN là hình vuông
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh bốn tam giác vuông \[MCL, LKB, KAN, NDM\] bằng nhau.
Khi đó suy ra: \[ML = LK = KN = NM\] và \[ LK\] vuông góc với \[KN\]
Từ đó ta có \[KLMN\] là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Từ đề bài suy ra \[BK=CL\]\[=MD=NA=1cm\]
Xét \[ ANK\] và \[ BKL:\]
\[AN = BK\] [gt]
\[\widehat A = \widehat B = 90^\circ \]
\[AK = BL\] [vì \[AB = BC,\, BK = CL\]]
Do đó \[ ANK = BKL \,[c.g.c]\]
\[ NK = KL \,[1]\]
Xét \[ BKL\] và \[ CLM:\]
\[BK = CL\] [gt]
\[\widehat B = \widehat C = 90^\circ \]
\[BL = CM\] [vì \[BC = CD, \,CL = DM\]]
Do đó: \[ BKL = CLM [c.g.c]\]
\[ KL = LM \,[2]\]
Xét \[ CLM\] và \[ DMN :\]
\[CL = DM\] [gt]
\[\widehat C = \widehat D = 90^\circ \]
\[CM = DN\] [vì \[CD = DA,\, DM = AN\]]
Do đó: \[ CLM = DMN [c.g.c]\]
\[ LM = MN \,[3]\]
Từ \[[1], [2]\] và \[[3]\] \[ NK = KL = LM = MN\]
Tứ giác \[MNKL\] là hình thoi
\[ ANK = BKL\] \[ \Rightarrow \widehat {ANK} = \widehat {BKL}\]
Trong tam giác \[ANK\] có \[\widehat A = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ANK} + \widehat {AKN} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {BKL} + \widehat {AKN} = 90^\circ \]hay \[\widehat {NKL} = 90^\circ \]
Vậy tứ giác \[MNKL\] là hình vuông.