Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông ở \[A\] và có \[BC = 2 AB = 2a.\] Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông \[BCDE,\] tam giác đều \[ABF\] và tam giác đều \[ACG.\]
a] Tính các góc \[B,\, C,\] cạnh \[AC\] và diện tích tam giác \[ABC.\]
b] Chứng minh rằng \[FA\] vuông góc với \[BE\] và \[CG.\] Tính diện tích các tam giác \[FAG\] và \[FBE.\]
c] Tính diện tích tứ giác \[DEFG.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: \[S=\dfrac{1}{2}ah\]
Công thức tính diện tích hình vuông cạnh \[a\] là: \[S=a^2\]
Định lý Pi - ta - go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC,\] ta có:
\[AM = MB =\] \[\eqalign{1 \over 2}BC = a\] [tính chất tam giác vuông] \[ AM = MB = AB = a\]
nên \[ AMB\] đều \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]
Mặt khác : \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \] [tính chất tam giác cân]
Suy ra: \[\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {ABC}\] \[= 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Trong tam giác vuông \[ABC,\] theo định lý Pi-ta-go ta có :
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\]
Suy ra: \[\eqalign{ A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} }\] \[= 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2} \]
Hay \[AC = a\sqrt 3 \]
Do đó ta có diện tích\[ ABC\] là: \[S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC\] \[=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3=\dfrac{1}{2}a^2\sqrt 3\]
b] Ta có : \[\widehat {FAB} = \widehat {ABC} = 60^\circ \]
\[ FA // BC\] [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
Suy ra: \[FA BE\]
\[BC CD\] [vì \[BCDE\] là hình vuông]
Suy ra: \[FA CD\]
Gọi giao điểm \[BE\] và \[FA\] là \[H, FA\] và \[CG\] là \[K.\]
\[ \Rightarrow BH \bot FA\] và \[FH = HA =\] \[\eqalign{a \over 2}\] [tính chất tam giác đều]
\[\widehat {ACG} + \widehat {ACB} + \widehat {BCD} \] \[= 60^\circ + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ G, C, D\] thẳng hàng
\[ AK CG\] và \[GK = KC\] \[= \eqalign{1 \over 2} GC \] = \[\eqalign{1 \over 2}AC \] \[= \eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}\]
\[{S_{FAG}} = \eqalign{1 \over 2}GK.AF =\eqalign {1 \over 2}.\eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}.a \] \[=\eqalign {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\] [đvdt]
\[{S_{FBE}} = \eqalign{1 \over 2}FH.BE =\eqalign {1 \over 2}.\eqalign{a \over 2}.2a \] \[= \eqalign{1 \over 2}{a^2}\] [đvdt]
c] \[{S_{BCDE}} = B{C^2} = {\left[ {2a} \right]^2} = 4{a^2}\] [đvdt]
Trong tam giác vuông \[BHA,\] theo định lý Pi-ta-go ta có:
\[\eqalign{ & A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} }\] \[ \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\] \[= {a^2} - \eqalign{{{a^2}} \over 4} = \eqalign{{3{a^2}} \over 4} \] \[\Rightarrow BH = \eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2} \]
\[\displaystyle {S_{ABF}} = {1 \over 2}BH.FA = \eqalign{1 \over 2}.\eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}.a \] \[= \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\] [đvdt]
Trong tam giác vuông \[AKC,\] theo định lý Pi-ta-go ta có:
\[A{C^2} = A{K^2} + K{C^2}\]
\[\eqalign{ \Rightarrow A{K^2} = A{C^2} - K{C^2}}\] \[ {= 3{a^2} - \eqalign{{3{a^2}} \over 4} = \eqalign{{9{a^2}} \over 4}}\] \[\Rightarrow {AK = \eqalign{{3a} \over 2} } \]
\[{S_{ACG}} = \eqalign{1 \over 2}AK.CG = \eqalign{1 \over 2}.\eqalign{{3a} \over 2}.a\sqrt 3 \] \[= \eqalign{{3{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\] [đvdt]
\[{S_{DEFG}} = {S_{BCDE}} + {S_{FBE}} + {S_{FAB}} \] \[+ {S_{FAG}} + {S_{ACG}}+ {S_{ACB}}\]
\[ = 4{a^2} + \eqalign{{{a^2}} \over 2} + \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} + \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \] \[+ \eqalign{{3{a^2}\sqrt 3 } \over 4} +\dfrac{1}{2}a^2\sqrt 3= \eqalign{{{a^2}} \over 4}\left[ {18 + 7\sqrt 3 } \right]\] [đvdt]