Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A,\] các đường phân giác \[BE,\] \[CF.\] Chứng minh rằng \[BFEC\] là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
+] Hình thâng cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
+] \[ ABC\] cân tại \[A\] nên\[AB = AC\] và \[\widehat B=\widehat C\]
+] Do BE và CF lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên ta có:
\[\widehat {ABE} =\displaystyle {{\widehat B} \over 2}\] và \[\displaystyle\widehat {ACF}={{\widehat C} \over 2} \]
Suy ra\[\widehat {ABE}=\displaystyle {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 2} = \widehat {ACF}\]
Xét hai tam giác \[AEB\] và \[AFC\] có:
\[\widehat A\]là góc chung
\[AB = AC\] [chứng minh trên]
\[\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \Delta AEB = \Delta AFC\left[ {g.c.g} \right]\]
\[ \Rightarrow AE = AF \Rightarrow \Delta AEF\]cân tại \[A\]
\[ \Rightarrow \widehat {AFE} =\displaystyle {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
Trong tam giác \[\Delta ABC\] cân tại A có: \[\,\,\widehat B = \displaystyle {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat B\], mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[ FE//BC\]
\[\Rightarrow\] tứ giác \[BFEC\] là hình thang.
Ta có: \[\widehat B=\widehat C\] [tam giác \[ABC\] là tam giác cân tại \[A\]]
\[\Rightarrow\] hình thang \[BFEC\] là hình thang cân.
Vì \[FE//BC\]\[\Rightarrow \widehat {FEB}=\widehat {CBE}\] [hai góc so le trong]
Mà \[\widehat {CBE}=\widehat {FBE}\] [\[BE\] là phân giác góc \[B\]]
\[\Rightarrow \widehat {FBE}=\widehat {FEB}\]
\[\Rightarrow \Delta BFE\] là tam giác cân tại \[F\]
\[\Rightarrow EF=BF\]
Vậy hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.