Tại sao công là đại lượng vô hướng

PHỤ LỤC 2778. Quãng đường là đại lượng vô hướng hay véc tơ?Trong vật lý, người ta vẫn coi quãng đường là đại lượng véc tơ ký hiệu làdS hay S khi biểu diễn chuyển động của một vật thể từ điểm A đến điểm B trongmột khoảng thời gian nhất định nào đó. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng khi vật thể chuyển động thẳng như Hình P1a; nếu nó chuyển động theo một đường cong, vídụ như ½ đường tròn được chỉ tra trên Hình P1b, vấn đề sẽ khác: tổng các véc tơdS là véc tơ S có chiều dài bằng 2r khơng phải là qng đường mà vật thể đi đượctrong khoảng thời gian đó πr. Điều này chứng tỏ rằng quãng đường không phải là đại lượng véc tơNhưng khi đó, một vấn đề mới lại được đặt ra liên quan tới khái niệm vận tốc chuyển động vốn là một đại lượng véc tơ, theo vật lý hiện hành được xác địnhbởi giới hạn: dtd tttS SV =∆ ∆=→ ∆lim . P8.1Vậy thì làm thế nào để biểu diễn được véc tơ vận tốc từ một đại lượng không phải là véc tơ? Rút cục, quãng đường là đại lượng vô hướng hay véc tơ đây?Theo CĐM, quãng đường không phải véc tơ mà chỉ là một đại lượng vơ hướng, vì vậy, nghịch lý với qng đường ở trên sẽ khơng còn nữa; bất cập xẩy radSS dSS ab Hình P1. Qng đường khơng phải là đại lượng véc tơA BB APHỤ LỤC 278với vận tốc trong trường hợp này sẽ được giải tỏa nếu thay biểu thức P8.1 bằng biểu thức khác có ý nghĩa vật lý hơn đó là:A Atdt dSt St ee V= ∆∆ =→ ∆lim P8.2ởđây eAlà véc tơ đơn vị có hướng tiếp tuyến với quãng đường ngay tại điểm A, ứng với vị trí của vật thể tại thời điểm t, còn S chỉ là đại lượng vơ hướng trong khơng gian véc tơ nhưng sự biến thiên của nó lại có hướng, và hướng này đượcxác định bới chính véc tơ đơn vị eA.9. Năng lượng là đại lượng vô hướng hay véc tơ?Năng lượng cho đến nay vẫn được coi là đại lượng vơ hướng. Vì động năng cũng là một dạng năng lượng nên về nguyên tắc nó phải là một đại lượng vôhướng. Nhưng điều này tỏ ra không hợp lý bởi 2 lẽ: + Thứ nhất, năng lượng là khả năng sinh cơng mà động năng lại chỉ có thểsinh công theo hướng chuyển động của vật thể khi va chạm với các vật thể khác còn theo các hướng khác thì khơng thể, vì vậy động năng khơng thể là đại lượngvô hướng; + Thứ hai, vận tốc là đại lượng véc tơ nên động năng tính theo cơng thức:22mV K= P9.1cũng chỉ có thể có nghĩa theo hướng của vận tốc còn theo các hướng khác thì hồn tồn khơng thể.Thế năng cũng là một dạng năng lượng và do vậy nó cũng phải là đại lượng vơ hướng. Nhưng thế năng cũng giống như với động năng, đến lượt mình, nó cũngchỉ có khả năng sinh công theo hướng đường sức của trường lực thế và vì vậy,PHỤ LỤC 279theo lơgíc, nó cũng phải là một đại lượng véc tơ mà không thể là vô hướng được. Vấn đề là ở chỗ, tổng của các đại lượng vô hướng là tổng đại số còn tổng của cácđạ i lượng véc tơ là tổng hình học theo quy tắc hình bình hành – trong trường hợpchung, chúng có những kết quả hồn toàn khác nhau. Điều này đương nhiên ảnh hưởng tới định luật bảo toàn năng lượng – một định luật cơ bản của Tự nhiên.Trong khi đó, khái niệm nội năng là năng lượng hàm chứa bên trong vật thể thì khó có thể nói là đại lượng véc tơ được mà là có lẽ chỉ có thể là vơ hướng? Vídụ như nhiệt năng chẳng hạn? Vậy rút cục năng lượng là đại lượng vô hướng hay véc tơ đây? Hay là cũng có dạng “lưỡng tính véc tơ-vơ hướng” kiểu như “lưỡngsóng-hạt? Theo quan điểm của CĐM, năng lượng cũng là đại lượng véc tơ tuy nhiên,còn phân biệt năng lượng cơ và năng lượng tổng xem lại mục 1.2.3 và vì vậy, sự băn khoăn về động năng và thế năng ở trên hoàn toàn được giải tỏa. Riêng đối vớinội năng tổng, theo định nghĩa, chỉ là đại lượng thống kê giống như nội lực tổng, thành ra khơng nên coi nó là đại lượng véc tơ – điều này hồn tồn khơng mâuthuẫn với bản chất véc tơ của năng lượng. Việc cho rằng động năng tính theo P8.1 có nguyên nhân sâu xa từ khái niệm quãng đường là đại lượng véc tơ vừanói tới ở trên đã dẫn đến công thức động năng vô hướng này; mà không chỉ có thế, nó còn là ngun nhân trực tiếp dẫn đến quan niệm “công của lực dịch chuyển vậtthể trên một quãng đường” cũng là đại lượng vô hướng nốt: A = F.S. Tuy nhiên,khi thay quãng đường trong cơng thức này là đại lượng vơ hướng thì cơng cũng sẽ trở thành véc tơ giống như năng lượng vậy, và điều này mới là hợp lẽ.

10. Nghịch lý động năng

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ.

Công

Một cầu thủ giao bóng bóng chày tạo ra công lên quả bóng bằng cách tác dụng một lực

Ký hiệu thường gặp

A (W trong tiếng Anh)Đơn vị SIJoule (J)Trong hệ SI1 kg⋅m2/s2

Liên hệ với các đại lượng khác

A = F ⋅ s
A = τ θ

Công được định nghĩa là hành động được thực hiện trên một đối tượng, gây ra một lực làm dịch chuyển đối tượng đó. VD: Bạn đẩy một cái hộp dưới sàn làm nó "di chuyển", có nghĩa là bạn đang thực hiện công, nhưng nếu bạn bạn đẩy một bức tường và nó không hề di chuyển, mặc dù bạn cung cấp một lực đẩy rất lớn nhưng về mặc kĩ thuật thì công bằng 0.

Một phần của chuỗi bài viết về
Cơ học cổ điển
F = d d t ( m v ) {\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})} Định luật 2 của Newton về chuyển động
Lịch sử Dòng thời gian Sách giáo khoa
Các nhánh Applied Thiên thể Môi trường liên tục Dynamics Chuyển động học Tĩnh học Thống kê
Khái niệm cơ bản Gia tốc Mô men động lượng Ngẫu lực D'Alembert's principle Năng lượng động năng Thế năng Lực Hệ quy chiếu Hệ quy chiếu quán tính Xung lượng Quán tính / Mô men quán tính Khối lượng Công suất Công Mô men Động lượng Không gian Tốc độ Thời gian Mô men lực Vận tốc Virtual work
Biểu diễn Các định luật về chuyển động của Newton Analytical mechanics Cơ học Lagrange Cơ học Hamilton Routhian mechanics Hamilton–Jacobi equation Appell's equation of motion Koopman–von Neumann mechanics
Chủ đề chính Damping ratio Li độ Phương trình chuyển động Định luật chuyển động của Euler Lực quán tính Ma sát Dao động điều hoà Hệ quy chiếu quán tính / phi quán tính Mechanics of planar particle motion Chuyển động (linear) Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton Các định luật về chuyển động của Newton Relative velocity Vật rắn dynamics Euler's equations Dao động điều hòa đơn giản Rung động
Chuyển động quay Chuyển động tròn Hệ quy chiếu quay Lực hướng tâm Lực ly tâm reactive Lực Coriolis Pendulum Tốc độ tiếp tuyến Rotational speed Gia tốc góc / displacement / tần số / vận tốc
Các nhà khoa học Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Cổng thông tin Vật lý  Thể loại
x t s

Trong vật lý, công là một đại lượng vô hướng có thể mô tả là tích của lực với quãng đường dịch chuyển mà nó gây ra, và nó được gọi là công của lực. Chỉ có thành phần của lực theo phương chuyển động ở điểm đó thì mới gây ra công. Khái niệm công được đề ra đầu tiên vào năm 1826 bởi nhà toán học người Pháp Gaspard-Gustave Coriolis.

Đơn vị

Đơn vị SI của công là joule (J), được định nghĩa là công thực hiện bởi một newton làm dịch chuyển một đoạn có chiều dài một mét. Đơn vị tương đương là newton-mét (N.m) cũng được sử dụng thỉnh thoảng, nhưng điều này có thể gây nhầm lẫn với đơn vị newton-mét dùng cho Mô men.

Các đơn vị không phải SI của công bao gồm erg, foot-pound, foot-poundal, và litre-atmosphere. Những đơn vị khác là mã lực, therm, BTU và Ca-lo. Điều quan trọng phải nhớ là nhiệt lượng và công có cùng đơn vị đo.

Nhiệt lượng không được xem xét như là một dạng công, vì năng lượng được truyền cho sự rung của các phân tử chứ không phải là sự dịch chuyển vĩ mô. Tuy nhiên, nhiệt lượng có thể gây ra công bởi sự giãn nở khí trong một xi-lanh như là trong động cơ của xe hơi.

Tính toán toán học

Tính toán công như là "lực nhân đoạn thẳng đi được" chỉ có thể thực hiện trong những trường hợp đơn giản mô tả ở trên. Nếu lực biến thiên, nếu vật chuyển động theo một đường cong, có thể là quay, thì chỉ có phần quỹ đạo của điểm tác dụng lực mới tạo nên công, và chỉ có thành phần của lực song song với phương vận tốc của điểm đó của lực mới gây nên công (công dương khi cùng hướng với vận tốc, âm khi ngược hướng). Thành phần này của lực có thể mô tả như một đại lượng vô hướng gọi là thành phần lực tiếp tuyến ( F cos ⁡ θ {\displaystyle F\cos \theta }

, với θ {\displaystyle \theta }

là góc giữa vectơ lực và vận tốc). Và sau đây là định nghĩa chung của công:

Công của lực là tích phân đường của thành phần lực tiếp tuyến theo quỹ đạo của điểm tác dụng lực.

Lực và độ dời

Nếu một lực F → {\displaystyle {\vec {F}}}

không đổi theo thời gian tác dụng lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến một vectơ độ dời d → {\displaystyle {\vec {d}}}

, thì công thực hiện của lực lên vật là tích vô hướng của các vectơ F → {\displaystyle {\vec {F}}} và d → {\displaystyle {\vec {d}}} :

A = F → ⋅ d → = F d cos ⁡ θ {\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}=Fd\cos \theta }

(1)

với θ {\displaystyle \theta } là góc giữa vectơ lực và vectơ độ dời.

Trọng lực F=mg gây công A=mgh theo bất kỳ quỹ đạo rơi nào

Khi mà độ lớn và hướng của lực không đổi, quỹ đạo của vật có thể theo bất kỳ hình dạng nào: công thực hiện là độc lập với quỹ đạo và được xác định bởi chỉ một vectơ độ dời tổng cộng d → {\displaystyle {\vec {d}}} . Một ví dụ dễ thấy là công thực hiện bởi trọng lực - xem hình. Vật rơi xuống theo một đường cong, nhưng công được tính từ d cos ⁡ θ = h {\displaystyle d\cos \theta =h}

, nó cho một kết quả quen thuộc A = m g h {\displaystyle A=mgh}

.

Nếu lực gây ra (hay ảnh hưởng) đến sự quay của vật, hay vật không rắn, thì độ dời của điểm mà lực tác dụng được dùng để tính công. Trong trường hợp lực thay đổi theo thời gian, phương trình (1) không thể áp dụng được nữa. Nhưng khả dụng nếu chia chuyển động thành nhiều bước nhỏ, đến mức lực có thể coi xấp xỉ là hằng số trong mỗi bước, và công tổng cộng sẽ là tổng công các bước. Điều này sẽ trả lại một kết quả xấp xỉ, mà nó có thể được cải thiện khi chia nhỏ các bước hơn nữa (vi phân). Và kết quả chính xác thu được là giới hạn toán học của quá trình này, dẫn đến định nghĩa dưới đây.

Định nghĩa chung cho công cơ học được cho bởi tích phân đường sau đây:

A C = ∫ C F → ⋅ d x → = ∫ C F → ⋅ v → d t {\displaystyle A_{C}=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}=\int _{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}dt}

(2)

với:

C {\displaystyle C}

là quỹ đạo của điểm đặt lực; F → {\displaystyle {\vec {F}}} là vectơ lực; x → {\displaystyle {\vec {x}}}

là vectơ vị trí; và v → = d x → / d t {\displaystyle {\vec {v}}=d{\vec {x}}/dt}

là vận tốc của nó.

Phương trình (2) giải thích làm sao một lực khác không có thể thực hiện công bằng không. Trường hợp đơn giản nhất là lực luôn vuông góc với phương chuyển động, tạo nên một tích phân luôn bằng không. Nó xảy ra khi vật chuyển động tròn. Tuy nhiên, kể cả khi nếu tích phân thỉnh thoảng có một giá trị khác không, nó vẫn có thể tích phân ra không nếu thỉnh thoảng nó dương và thỉnh thoảng nó âm.

Sự hiện diện của lực khác không tạo công bằng không minh họa sự khác nhau giữa công và đại lượng liên quan, xung lượng, nó là tích phân của lực theo thời gian. Xung lượng đo sự thay đổi động lượng của vật, một đại lượng vectơ có hướng, trong khi công chỉ phụ thuộc độ lớn của vận tốc. Ví dụ như là một vật chuyển động tròn đều chuyển động được một nửa vòng, thì lực hướng tâm của nó không gây công, nhưng nó tạo một xung lượng khác không.

Mô men và sự quay

Một lực có độ lớn không đổi và vuông góc với cánh tay đòn

Công thực hiện bởi một mô men lực có thể được tính theo cách tương tự, như là một lực có độ lớn không đổi tác động vuông góc lên một cánh tay đòn. Tích phân tại phương trình (2) cho chiều dài quỹ đạo của điểm đặt lực là cung tròn d s → {\displaystyle d{\vec {s}}}

. Tuy nhiên, cung tròn có thể được tính từ góc quay φ → {\displaystyle {\vec {\varphi }}}

(đo bằng radian) như là d s → = d φ → × r → {\displaystyle d{\vec {s}}=d{\vec {\varphi }}\times {\vec {r}}}

, và tích r → × F → {\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}}

bằng với mô men M → {\displaystyle {\vec {M}}}

. Như vậy, công còn được tính như sau:

A = ∫ F → ⋅ d s → = ∫ F → ⋅ ( d φ → × r → ) = ∫ ( r → × F → ) ⋅ d φ → {\displaystyle A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=\int {\vec {F}}\cdot \left(d{\vec {\varphi }}\times {\vec {r}}\right)=\int \left({\vec {r}}\times {\vec {F}}\right)\cdot d{\vec {\varphi }}}

= ∫ M → ⋅ d φ → = ∫ M → ⋅ ω → d t {\displaystyle =\int {\vec {M}}\cdot d{\vec {\varphi }}=\int {\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}dt}

với

M → {\displaystyle {\vec {M}}} là vectơ mô men tác động vào vật; φ → {\displaystyle {\vec {\varphi }}} là vectơ góc quay của vật quay; và ω → = d φ → d t {\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {d{\vec {\varphi }}}{dt}}}

là vectơ vận tốc góc của vật quay.

Công và động năng

Theo định lý công-động năng, nếu một hay nhiều ngoại lực tác động lên một vật rắn, làm cho động năng của nó biến thiên từ E k 1 {\displaystyle E_{k_{1}}}

đến E k 2 {\displaystyle E_{k_{2}}}

, thì công A {\displaystyle A}

thực hiện bởi hợp tất cả các lực bằng với độ biến thiên động năng. Trong chuyển động tịnh tiến, định lý có thể mô tả như sau:

A = Δ E k = E k 2 − E k 1 = 1 2 m ( v 2 2 − v 1 2 ) {\displaystyle A=\Delta E_{k}=E_{k_{2}}-E_{k_{1}}={\frac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})}

với m là khối lượng của vật và v là vận tốc của nó.

Định lý có thể dễ dàng chứng minh cho trường hợp lực tác dụng theo phương chuyển động theo một đường thẳng. Cho những trường hợp phức tạp hơn, ví dụ như một quỹ đạo cong hay lực biến đổi (hay cả hai), chúng ta có thể sử dụng tích phân để lấy kết quả tương đương. Trong cơ học vật rắn, một công thức tính công có thể biến đổi thì động năng bằng cách sử dụng tích phân bậc nhất của định luật 2 Newton.

Để thấy được điều này, hãy khảo sát 1 vật P chuyển động theo một quỹ đạo X → ( t ) {\displaystyle {\vec {X}}(t)}

với một lực F → {\displaystyle {\vec {F}}} tác động lên đó. Định luật 2 Newton cung cấp mối quan hệ giữa lực và gia tốc của vật:

F → = m X → ″ {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {X}}''}

với m là khối lượng của vật.

Nhân vô hướng vận tốc của vật cho mỗi vế của định luật 2 Newton:

F → ⋅ X → ′ = m X → ″ ⋅ X → ′ {\displaystyle {\vec {F}}\cdot {{\vec {X}}'}=m{{\vec {X}}''}\cdot {{\vec {X}}'}}

Tích phân từ điểm X → ( t 1 ) {\displaystyle {\vec {X}}(t_{1})}

đến điểm X → ( t 2 ) {\displaystyle {\vec {X}}(t_{2})}

ta có:

∫ t 1 t 2 F → ⋅ X → ′ d t = m ∫ t 1 t 2 X → ″ ⋅ X → ′ d t . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\cdot {{\vec {X}}'}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\vec {X}}''}\cdot {{\vec {X}}'}dt.}

Vế trái của phương trình là công của lực tác động lên vật dọc theo quỹ đạo từ thời điểm t 1 {\displaystyle t_{1}}

đến thời điểm t 2 {\displaystyle t_{2}}

. Nó còn có thể được viết:

A = ∫ t 1 t 2 F → ⋅ X → ′ d t = ∫ X → ( t 1 ) X → ( t 2 ) F → ⋅ d X → {\displaystyle A=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\cdot {{\vec {X}}'}dt=\int _{{\vec {X}}(t_{1})}^{{\vec {X}}(t_{2})}{\vec {F}}\cdot d{\vec {X}}}

Tích phân này được tính dọc theo quỹ đạo X → ( t ) {\displaystyle {\vec {X}}(t)} của vật và do đó phụ thuộc vào quỹ đạo.

Vế phải của phương trình tích phân bậc nhất định luật 2 Newton có thể được đơn giản khi sử dụng biểu thức sau:

1 2 d d t X → ′ 2 = X → ″ ⋅ X → ′ {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}{{\vec {X}}'}{}^{2}={{\vec {X}}''}\cdot {{\vec {X}}'}}

Biểu thức trên có thể tích phân dễ dàng để chuyển thành động năng:

Δ E k = m ∫ t 1 t 2 X → ″ ⋅ X → ′ d t = 1 2 m ∫ t 1 t 2 d d t X → ′ 2 d t = 1 2 m X → ′ 2 ( t 2 ) − 1 2 m X → ′ 2 ( t 1 ) {\displaystyle \Delta E_{k}=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\vec {X}}''}\cdot {{\vec {X}}'}dt={\frac {1}{2}}m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}{{\vec {X}}'}{}^{2}dt={\frac {1}{2}}m{{\vec {X}}'{}^{2}(t_{2})}-{\frac {1}{2}}m{{\vec {X}}'{}^{2}(t_{1})}}

với động năng của vật được định nghĩa như sau:

E k = 1 2 m X → ′ 2 {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m{{\vec {X}}'{}^{2}}}

Và kết quả là định lý công-động năng cho vật rắn chuyển động:

A = Δ E k {\displaystyle A=\Delta E_{k}}

Công và công suất

Tốc độ công thực hiện bởi một lực (đo bằng joule/giây, hay là watt) là tích vô hướng của một lực (một vectơ) với lại tốc độ thay đổi vectơ độ dời, hay là vectơ vận tốc của điểm đặt lực. Phép nhân vô hướng này giữa lực và vận tốc này được gọi là công suất tức thời.

P = F → ⋅ v → {\displaystyle P={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}

Cũng như là vận tốc có thể được tích phân theo thời gian để ra quãng đường, thì theo cơ bản của định lý tích phân, tổng công dọc theo một quỹ đạo là tích phân theo thời gian của công suất tức thời tác động dọc theo quỹ đạo của điểm đặt lực.

Hệ quy chiếu

Công thực hiện bởi lực tác động vào một vật phụ thuộc vào cách chọn hệ quy chiếu bởi vì độ dời và vận tốc là phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà trong đó chúng ta khảo sát.

Độ biến thiên động năng cũng phụ thuộc vào cách chọn hệ quy chiếu bởi vì động năng là một hàm theo vận tốc. Tuy nhiên, bỏ qua cách chọn hệ quy chiếu, định luật công-động năng vẫn đúng và công thực hiện vẫn bằng độ biến thiên động năng.

Xem thêm

• Động năng
• Năng lượng
• Công suất
• Lực

Tham khảo

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Công_(vật_lý_học)&oldid=66733077”