Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a] Tính độ dài MN.
b] Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD.
Lời giải chi tiết
Đặt \[\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \] .
Khi đó, ta có:
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow a = {1 \over 2}{m^2}\] và \[{\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}\]
a] Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên
\[\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} } \right]\]
hay \[\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow c - b} \right]\]
Vậy
Tức là \[MN = {{m\sqrt 2 } \over 2}\]
b] Ta có
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b } \right].\overrightarrow b \cr & = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow c - {{\overrightarrow b }^2}} \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {{{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} - {m^2}} \right] = 0 \cr} \]
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90°
Ta có:
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90°.
Ta có :
Tức là:
\[\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right] = {1 \over 2}{m^2}\]
Từ đó \[\cos \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right] = {{{{{m^2}} \over 2}} \over {m.{{m\sqrt 2 } \over 2}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\]
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.