- LG a
- LG b
- LG c
Cho dãy số \[[{u_n}]\] xác định bởi
\[{u_1} = {1 \over 3}\] và \[{u_{n + 1}} = {{n + 1} \over {3n}}{u_n}\] với mọi \[n \ge 1.\]
LG a
Chứng minh dãy số \[[{v_n}],\] mà \[{v_n} = {{{u_n}} \over n}\] với mọi \[n \ge 1,\] là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số \[[{u_n}]\] suy ra với mọi \[\forall n \ge 1\]
\[{{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}} = {1 \over 3} \times {{{u_n}} \over n},\,\,hay\,\,{v_{n + 1}} = {1 \over 3} \times {v_n}\]
Do đó, dãy số \[[{v_n}]\] là một cấp số nhân với số hạng đầu \[{v_1} = {u_1} = {1 \over 3}\] và công bội bằng \[{1 \over 3}\]
LG b
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \[[{u_n}]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[{v_n} = {1 \over 3} \times {1 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over {{3^n}}}\] với mọi \[n \ge 1,\] Suy ra \[{u_n} = {n \over {{3^n}}}\] với mọi \[n \ge 1.\]
LG c
Tính tổng \[S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\]
\[\eqalign{
& = {v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{11}} \cr
& = {1 \over 3} \times {{1 - {1 \over {{3^{11}}}}} \over {1 - {1 \over 3}}} = {{{3^{11}} - 1} \over {{{2.3}^{11}}}}={{88573} \over {177147}} \cr} \]