- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = 2\sin x + \cos \left[ {x - {\pi \over 4}} \right]\]
LG a
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f[x]
Lời giải chi tiết:
Giá trị lớn nhất là \[\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \]; giá trị nhỏ nhất là \[ - \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \]
LG b
Giải phương trình \[f\left[ x \right] = {{\sqrt 2 } \over 2}\]
Lời giải chi tiết:
\[\,\,x = k2\pi ;\,\,\,x = 2\alpha + k2\pi \] với \[\sin \alpha = {{4 + \sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}\] và \[\cos \alpha = {{\sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}\]
LG c
Tìm giá trị gần đúng [chính xác đến hàng phần nghìn] của các nghiệm nằm trong khoảng \[\left[ {0;2\pi } \right]\] của phương trình \[f\left[ x \right] = {{\sqrt 2 } \over 2}\]
Lời giải chi tiết:
Trong khoảng \[\left[ {0;2\pi } \right]\], không có giá trị nào thuộc họ \[\,\,x = k2\pi \]. Đối với họ nghiệm thứ hai, ta có thể chọn \[\alpha = \arccos {{\sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }} \approx 1,3153\]. Khi đó ta có \[0 < \alpha < {\pi \over 2}\] và
\[\eqalign{
& - 2\alpha + k2\pi \in \left[ {0;2\pi } \right] \Leftrightarrow 0 < - 2\alpha + k2\pi < 2\pi \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\alpha < k2\pi < 2\alpha + 2\pi \cr} \]
Vậy chỉ có một giá trị nghiệm duy nhất của k thỏa mãn điều kiện này, đó là k = 1. Vậy \[\,\,x = - 2\alpha + 2\pi \approx 3,653\]