Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình F biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\] sao cho:
\[\left\{ \matrix{
x' = ax + by + p \hfill \cr
y' = cx + dy + q \hfill \cr} \right.\]
Trong đó: \[{a^2} + {c^2} = {b^2} + {d^2} = 1\,;\,ab + cd = 0\]
Chứng tỏ rằng F là phép dời hình.
Lời giải chi tiết
Ta lấy hai điểm bất kì \[M = \left[ {{x_o};{y_o}} \right]\] và \[N\left[ {{x_1};{y_1}} \right]\].Khi đó F biến M, N lần lượt thành M, N có tọa độ:
\[M' = \left[ {a{x_o} + b{y_o} + p;\,c{x_o} + d{y_o} + q} \right]\]
và \[N' = \left[ {a{x_1} + b{y_1} + p;\,c{x_1} + d{y_1} + q} \right]\]
Suy ra:
\[\eqalign{
M'N{'^2} &= {\left[ {a\left[ {{x_1} - {x_o}} \right] + b\left[ {{y_1} - {y_o}} \right]} \right]^2} \cr&\;\;+ {\left[ {c\left[ {{x_1} - {x_o}} \right] + d\left[ {{y_1} - {y_o}} \right]} \right]^2} \cr
& = \left[ {{a^2} + {c^2}} \right]{\left[ {{x_1} - {x_o}} \right]^2} \cr&\;\;+ \left[ {{b^2} + {d^2}} \right]{\left[ {{y_1} - {y_o}} \right]^2}\cr& \;\;+ 2\left[ {ab + cd} \right]\left[ {{x_1} - {x_o}} \right]\left[ {{y_1} - {y_o}} \right] \cr
& = {\left[ {{x_1} - {x_o}} \right]^2} + {\left[ {{y_1} - {y_o}} \right]^2} \cr
& = M{N^2} \cr} \]
Như vậy MN = MN
Vậy F là phép dời hình.