Đề bài
Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D; G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, AC, AD sao cho:
\[{{MA} \over {MB}} = {{NC} \over {NA}} = {{PD} \over {PA}} = {1 \over 2}\]
Gọi I, J lần lượt là các giao điểm của đường thẳng MN với BC và MP với BD.
a] Chứng minh rằng các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng.
b] Gọi E, F lần lượt các trung điểm của CD, NI; H là giao điểm của MG với BE; K là giao điểm của GF với mp [BCD]. Chứng minh rằng các điểm H, K, I, J thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\eqalign{
& JN \subset mp\left[ {MNP} \right] \cr
& IP \subset mp\left[ {MNP} \right] \cr} \]
Vì \[{{CN} \over {NA}} = {{EG} \over {GA}} = {{DP} \over {PA}} = {1 \over 2}\]
nên trong mp[ACD] các điểm N, G, P nằm trên một đường thẳng song song với CD. Từ đó G thuộc NP, Suy ra\[MG \subset mp\left[ {MNP} \right].\] Vậy ba đường thẳng MG, JN, IP đều thuộc mp[MNP].
b] Vì H là giao điểm của MG với BE nên H thuộc mp[MNP] và mp[BCD]. Vì K là giao điểm của GF với mp[BCD] nên K thuộc mp[BCD] và mp[MNP].
Mặt khác mp[MNP] và mp[BCD] cắt nhau theo giao tuyến IJ.
Vậy các điểm H và K phải thuộc đường thẳng IJ, tức là bốn điểm I, J, K, H thẳng hàng.