- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số
\[f\left[ x \right] = {{m{x^3}} \over 3} - {{m{x^2}} \over 2} + \left[ {3 - m} \right]x - 2\]
Tìm m để
LG a
\[f'\left[ x \right]\] với mọi x;
Lời giải chi tiết:
Với mọi \[x \in R,\] ta có
\[f'\left[ x \right] = m{x^2} - mx + 3 - m.\]
Ta phải xét hai trường hợp sau đây
1. Với \[m = 0\] thì \[f'\left[ x \right] = 3 > 0\,\,\,\left[ {\forall x \in R} \right].\] Vậy \[m = 0\] là một giá trị cần tìm.
2. Với \[m \ne 0\] [khi đó \[f'[x]\] là một tam thức bậc hai] thì ta phải tìm \[m\] sao cho
\[\left\{ \matrix{m > 0 \hfill \cr\Delta = {m^2} - 4\left[ {3 - m} \right] = m\left[ {5m - 12} \right] < 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow 0 < m < {{12} \over 5}\]
Vậy các giá trị của \[m\] thỏa mãn điều kiên của bài toán là \[0 \le m < {{12} \over 5}.\]
Chú ý. Không được phép hai trường hợp 1 và 2 [vì trong trường hợp 1, \[f\left[ x \right]\] không phải là một tam thức bậc hai nên không áp đụngk được định lí về dấu của tam thức bậc hai].
LG b
\[f'\left[ x \right]\]có hai nghiệm phân biệt cùng dấu;
Lời giải chi tiết:
Để \[f'[x]\] có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì phải tìm \[m\] sao cho tam thức bậc haicó hai nghiệm phân biệt và tích của chúng là \[P = {c \over a} > 0\] [hay số 0 nằm ngoài hai nghiệm] tức là
\[\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta = m\left[ {5m - 12} \right] > 0 \hfill \cr{{3 - m} \over m} > 0\,\,\,\left[ {hay\,\,m\left[ {3 - m} \right] > 0} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow {{12} \over 5} < m < 3.\]
LG c
Chứng minh rằng trong trường hợp có hai nghiệm[hai nghiệm có thể trùng nhau] thì các nghiệm thỏa mãn một hệ thức độc lập với m.
Lời giải chi tiết:
Vì có hai nghiệm [hai nghiệm có thể trùng nhau] nên ta có
\[\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta \ge 0 \hfill \cr{x_1} + {x_2} = {m \over m} = 1 \hfill \cr{x_1}{x_2} = {{3 - m} \over m} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 0\text{ hoặc }m \ge {2 \over 5} \hfill \cr{x_1} + {x_2} = 1. \hfill \cr} \right.\]
Vậy hệ thức phải tìm là \[{x_1} + {x_2} = 1.\]