Từ đó, theo định nghĩa dãy số \[[{v_n}]\] ta được \[{v_{n + 1}} = 4.{v_n}\] với mọi \[n \ge 1.\] Vì thế, \[[{v_n}]\] là một cấp số nhân với công bội \[q = 4\] và số hạng đầu \[{v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\].
Đề bài
Cho dãy số \[[{u_n}]\] xác định bởi \[{u_1} = 2\] và \[{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9\] với mọi \[n \ge 1.\]
Chứng minh rằng dãy số \[[{v_n}]\], xác định bởi \[[{v_n}] = {u_n} + 3\] với mọi \[n \ge 1,\]
Là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết
Từ hệ thức xác định dãy số \[[{u_n}]\] ta có
\[{u_{n + 1}} + 3 = 4.\left[ {{u_n} + 3} \right]\,\,\forall n \ge 1.\]
Từ đó, theo định nghĩa dãy số \[[{v_n}]\] ta được \[{v_{n + 1}} = 4.{v_n}\] với mọi \[n \ge 1.\] Vì thế, \[[{v_n}]\] là một cấp số nhân với công bội \[q = 4\] và số hạng đầu \[{v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\].