- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm các giới hạn sau:
LG a
\[\lim \sqrt n\left[ {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right] \]
Lời giải chi tiết:
\[\sqrt n \left[ {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right] = {{2\sqrt n } \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt n }} = {2 \over {\sqrt {1 + {2 \over n} + 1} }}\]với mọi n.
Do đó
\[\lim \sqrt n \left[ {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right] = 2\lim {1 \over {\sqrt {1 + {2 \over n} + 1} }} = 2.{1 \over 2} = 1.\]
LG b
\[\lim {1 \over {\sqrt {2n + 1} - \sqrt {n + 1} }}\]
Lời giải chi tiết:
\[\lim {1 \over {\sqrt {2n + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \lim {{\sqrt {2n + 1} + \sqrt {n + 1} } \over n} = 0;\]
LG c
\[\lim \left[ {2n - 1} \right]\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}} \]
Lời giải chi tiết:
\[\left[ {2n - 1} \right]\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}} = \sqrt {{{{{\left[ {2n - 1} \right]}^2}\left[ {2n + 3} \right]} \over {{n^4} - {n^2} + 1}}} \]với mọi n.
Vì\[\lim {{{{\left[ {2n - 1} \right]}^2}\left[ {2n + 3} \right]} \over {{n^4} - {n^2} + 1}} = 0\]nên
\[\lim \left[ {2n - 1} \right]\sqrt {{{2n + 3} \over {{n^4} - {n^2} + 2}}} = \sqrt 0 = 0;\]
LG d
\[\lim \sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}}} \]
Lời giải chi tiết:
\[{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}} = {{1 + 2{{\left[ {{2 \over 3}} \right]}^n}} \over {{{5n} \over {{3^n}}} + 3}}\]với mọi n.
Do đó\[\lim {{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}} = {1 \over 3}\]
Và\[\lim \sqrt {{{{3^n} + {2^{n + 1}}} \over {5n + {3^{n + 1}}}}} = \sqrt {{1 \over 3}} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\]