- LG a
- LG b
- LG c
Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P[3, -2] trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
LG a
\[\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[\Delta \]có VTCP \[[1;0]\] nên có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \left[ {0;1} \right].\]
Đường thẳng \[\Delta '\] vuông góc với \[\Delta \]nên có vectơ pháp tuyến là: \[\overrightarrow {n'} \left[ {1;0} \right]\]
Đường thẳng \[\Delta '\]qua P và vuông góc với \[\Delta \]có phương trình tổng quát là:
\[1.\left[ {x - 3} \right] = 0 \Leftrightarrow x = 3.\]
Gọi Q là hình chiếu của P trên \[\Delta \]do đó Q là giao điểm của \[\Delta \]và \[\Delta '\], tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\[\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy Q[3, 1]
Cách khác:
LG b
\[\Delta :{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}}\]
Lời giải chi tiết:
\[\Delta \]có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u_{\Delta}}= \left[ {3; - 4} \right]\]. Đường thẳng \[\Delta '\]qua P và vuông góc với \[\Delta \] nên có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {n_{\Delta '}}= {u_{\Delta}}=\left[ {3; - 4} \right]\]nên có phương trình tổng quát là:
\[\eqalign{
& 3.\left[ {x - 3} \right] - 4.\left[ {y + 2} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x - 4y - 17 = 0. \cr} \]
Gọi Q là hình chiếu của P trên \[\Delta \]do đó Q là giao điểm của \[\Delta \]và\[\Delta '\], tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\[\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}} \hfill \cr
3x - 4y - 17=0 \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- 4x - 3y + 4 = 0 \hfill \cr 3x - 4y - 17 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr
y = - {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[Q\left[ {{{67} \over {25}}; - {{56} \over {25}}} \right].\]
Cách khác:
LG c
\[\Delta :5x - 12y + 10 = 0.\]
Lời giải chi tiết:
\[\Delta \]có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{n_{\Delta}} \left[ {5; - 12} \right].\]
Đường thẳng \[\Delta '\]vuông góc với \[\Delta \]nên có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow{u_{\Delta '}} =\overrightarrow{n_{\Delta}}= \left[ {5; - 12} \right].\]
Đường thẳng \[\Delta '\]qua P và vuông góc với \[\Delta \]có phương trình chính tắc là:
\[{{x - 3} \over 5} = {{y + 2} \over { - 12}} \Leftrightarrow - 12x - 5y + 26 = 0\]
Gọi Q là hình chiếu của P trên \[\Delta \]do đó Q là giao điểm của \[\Delta \]và\[\Delta '\], tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\[\left\{ \matrix{
5x - 12x + 10 = 0 \hfill \cr
- 12x - 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[Q\left[ {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right].\]