- LG a
- LG b
Chứng minh rằng:
LG a
Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \[{a \over b} + {b \over a} \ge 2\]
Phương pháp giải:
Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương \[a + b \ge 2\sqrt {ab} \]
Lời giải chi tiết:
Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \[{a \over b}\,;\,{b \over a}\]là hai số dương nên:
\[{a \over b} + {b \over a} \ge 2\sqrt {{a \over b}.{b \over a}} = 2\][theo bất đẳng thức Cô-si]
Dấu = xảy ra khi \[\frac{a}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow a = b\] [do a,b cùng dấu].
LG b
Nếu a, b là hai số trái dấu thì \[{a \over b} + {b \over a} \le - 2\]
Lời giải chi tiết:
Nếu a, b là hai số trái dấu thì \[\dfrac{a}{b} < 0,\dfrac{b}{a} < 0\] \[ \Rightarrow - \dfrac{a}{b} > 0, - \dfrac{b}{a} > 0\]
Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương \[- \dfrac{a}{b} > 0, - \dfrac{b}{a}\] ta có:
\[\left[ { - \dfrac{a}{b}} \right] + \left[ { - \dfrac{b}{a}} \right]\] \[ \ge 2\sqrt {\left[ { - \dfrac{a}{b}} \right].\left[ { - \dfrac{b}{a}} \right]} = 2 \] \[\Rightarrow - \left[ {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}} \right] \ge 2\] \[ \Rightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \le - 2\]
Dấu = xảy ra khi \[- \dfrac{a}{b} = - \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} \Leftrightarrow a = - b\] do a,b trái dấu.