- LG a
- LG b
Giải và biện luận các hệ phương trình
LG a
\[\left\{ \matrix{
x + my = 1 \hfill \cr
mx - 3my = 2m + 3 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{& D = \,\left|\matrix{
1 & m \cr m & { - 3m} \cr}\right |\, = - 3m - {m^2} = - m[m + 3] \cr & {D_x} = \left|\matrix{1 & m \cr {2m + 3} & { - 3m} \cr} \right|\, = - 3m - m[2m + 3] \cr&\;\;\;\;\;\;= - 2m[m + 3] \cr & {D_y} = \left|\matrix{1 & 1 \cr m & {2m + 3} \cr}\right |\, = \,2m + 3 - m = m + 3 \cr} \]
+Nếu D 0 m 0 và m -3 nên hệ có nghiệm duy nhất là:
\[\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 2m[m + 3]} \over { - m[m + 3]}} = 2 \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 3} \over { - m[m + 3]}} = - {1 \over m} \hfill \cr} \right.\]
+ Nếu D = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = - 3 \hfill \cr} \right.\]
i] Với m = 0, Dy= 3 0: hệ vô nghiệm
ii] Với m = -3, hệ trở thành:
\[\left\{ \matrix{
x - 3y = 1 \hfill \cr
- 3x + 9y = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {{x - 1} \over 3}\]
Hệ có vô số nghiệm \[[x;\,{{x - 1} \over 3}]\]; x R
LG b
\[\left\{ \matrix{
mx + y = 4 - m \hfill \cr
2x + [m - 1]y = m \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
m & 1 \cr
2 & {m - 1} \cr}\right |\, = m[m - 1] - 2 \cr&\;\;\;\;= {m^2} - m - 2 = [m + 1][m - 2] \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{4 - m} & 1 \cr m & {m - 1} \cr}\right |\, = [4 - m][m - 1] - m \cr&\;\;\;\;= - {m^2} + 4m - 4 = - {[m - 2]^2} \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{m & {4 - m} \cr 2 & m \cr}\right |\, = \,{m^2} - 2[4 - m] \cr&\;\;\;\;= {m^2} + 2m - 8 = [m - 2][m + 4] \cr} \]
+ Nếu D 0 m -1 và m 2 nên hệ có nghiệm duy nhất là:
\[\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - {{[m - 2]}^2}} \over {[m + 1][m - 2]}} = {{ - m + 2} \over {m + 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{[m + 4][m - 2]} \over {[m + 1][m - 2]}} = {{m + 4} \over {m + 1}} \hfill \cr} \right.\]
+ Nếu D = 0 m = -1 hoặc m = 2
i] m = -1; Dx 0. Hệ vô nghiệm
ii] m = 2, thế y = 2 2x. Hệ có vô số nghiệm [x; 2 2x]; x R