Đề bài
Tìm các số tự nhiên m, n sao cho \[[2 m][3 n]\] là số nguyên tố.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[[2 m] \mathbb N^*\] và \[[3 n] \mathbb N^*\]
\[ 2 m 1\] và \[3 n m 1\] và \[n 2\].
Vì \[[2 m][3 n]\] là số nguyên tố nên chỉ có thể xảy ra hai trường hợp:
+] Trường hợp 1: \[2 m = 1\] và \[3 n\] là số nguyên tố,\[m 1, n 2\].
\[2 m = 1 m = 1\]
\[3 n\] là số nguyên tố nên \[n 2\].
Ta thấy \[n = 0\] thì \[3 0 = 3\] là số nguyên tố
\[n = 1 3 n = 3 1 = 2\] là số nguyên tố
Vậy \[m = 1, n = 0\] hoặc \[m = 1, n = 1\].
+] Trường hợp 2: \[3 n = 1\] và \[2 m\] là số nguyên tố; \[m 1, n 2\].
Với \[3-n=1\] thì \[ n=3-1=2\]
Để \[2-m\] là số nguyên tố thì \[2-m=2\], suy ra \[m=0\].
Do đó \[n=2;m=0\].
Vậy \[m = 1\] và \[n = 0;\]\[ m = -1\] và \[n = 1;\]\[ m = 0\] và \[n = 2\]