Đề bài
Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \[{{148} \over 9}\] và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng số hạng tổng quát của CSC: \[{u_n} = {u_1} + \left[ {n - 1} \right]d\]
Mở rộng: \[{u_m} = {u_k} + \left[ {m - k} \right]d\]
Định nghĩa CSN: \[{u_n} = q{u_{n - 1}}\]
Lời giải chi tiết
Kí hiệu u1, u2, u3lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.
Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u1, u2và u3tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.
Nếu \[{u_1} = 0 \Rightarrow {u_2} = {u_3} = 0\] \[ \Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} = 0 \ne \frac{{148}}{9}\] [mâu thuẫn]
Do đó \[{u_1} \ne 0\].
Theo bài ra ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = {u_1}q = {u_1} + 3d\\
{u_3} = {u_2}q = {u_2} + 4d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q - {u_1} = 3d\\
{u_2}q - {u_2} = 4d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}\left[ {q - 1} \right] = 3d\,\,\,[1]\\
{u_2}\left[ {q - 1} \right] = 4d\,\,\,[2]
\end{array} \right.
\end{array}\]
Xét hai trường hợp sau :
* Trường hợp 1 : q 1.
Khi đó [1] và [2] suy ra d 0 [do u1 0] và \[q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {4 \over 3}\]
Từ đó :
\[\eqalign{
& {{148} \over 9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.{{1 - {q^3}} \over {1 - q}} \cr
& = {u_1}.{{1 - {{\left[ {{4 \over 3}} \right]}^3}} \over {1 - {4 \over 3}}} = {u_1}.{{37} \over 9} \Rightarrow {u_1} = 4 \cr
& \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = {{16} \over 3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = {{64} \over 9} \cr} \]
Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \[d = {4 \over 9}.\]
* Trường hợp 2 : q = 1.
Khi đó \[{u_1} = {u_2} = {u_3}\].
\[ \Rightarrow \frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = 3{u_1}\]
\[ \Rightarrow {u_1} = \frac{{148}}{{27}}\]
Ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0.
Vậy có hai bộ ba số cần tìm là :
\[{u_1} = 4,{u_2} = {{16} \over 3},{u_3} = {{64} \over 9}\] và \[{u_1} = {u_2} = {u_3} = {{148} \over {27}}.\]