- LG a
- LG b
- LG c
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
LG a
\[a\sin x + b\cos x\] [a và b là hằng số, \[a^2+ b^2 0\]]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& a\sin x + b\cos x \cr&= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left[ {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right] \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left[ {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right] \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left[ {x + \alpha } \right] \cr} \]
trong đó\[\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array} \right.\]
Vì \[ - 1 \le \sin \left[ {x + \alpha } \right] \le 1\] nên:
\[ - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left[ {x + \alpha } \right] \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[a\sin x + b\cos x\] lần lượt là :
\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\text{ và }\, - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
LG b
\[{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\]
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\[\eqalign{
& y={\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x \cr&= {{1 - \cos 2x} \over 2} +{1 \over 2}\sin 2x + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
&= \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{{3\cos 2x}}{2}\cr&= {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr} \]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right]^2}\\
\le \left[ {{{\left[ {\frac{1}{2}} \right]}^2} + {1^2}} \right]\left[ {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}x} \right]\\
= \left[ {\frac{1}{4} + 1} \right].1 = \frac{5}{4}\\
\Rightarrow {\left[ {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right]^2} \le \frac{5}{4}\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2
\end{array}\]
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \[{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\] lần lượt là :
\[{{\sqrt 5 } \over 2} + 2\,\text{ và }\, - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\]
LG c
\[A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\] [A, B và C là hằng số].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} \cr&= a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr
& \text{ trong đó}\,\,a = {B \over 2},\,b = {{C - A} \over 2},\,c = {{C + A} \over 2} \cr} \]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{\left[ {a\sin 2x + b\cos 2x} \right]^2}\\
\le \left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\left[ {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right]\\
= \left[ {{a^2} + {b^2}} \right].1 = {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow {\left[ {a\sin 2x + b\cos 2x} \right]^2} \le {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin 2x + b\cos 2x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le a\sin 2x + b\cos 2x + c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c
\end{array}\]
Vậy \[A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\] đạt giá trị lớn nhất là :
\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\] \[= \sqrt {{{\left[ {\frac{B}{2}} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{{C - A}}{2}} \right]}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\] \[ = \sqrt {{{{B^2} + {{\left[ {C - A} \right]}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \] \[= {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left[ {C - A} \right]^2} + {{C + A} \over 2}\]
và giá trị nhỏ nhất là \[-\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\] \[= -\sqrt {{{\left[ {\frac{B}{2}} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{{C - A}}{2}} \right]}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\]\[ =- \sqrt {{{{B^2} + {{\left[ {C - A} \right]}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \]\[ = - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left[ {C - A} \right]}^2}} + {{C + A} \over 2}.\]