Đề bài
Cho cấp số cộng [un] với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với \[m k\]. Chứng minh rằng \[{u_m} = {u_k} + \left[ {m-k} \right]d\].
Áp dụng : Hãy tìm công sai d của cấp số cộng [un] mà \[{u_{18}} - {u_3} = 75\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Viết công thức tính \[u_m,u_k\] theo \[u_1,d\] rồi trừ hai số hạng cho nhau suy ra ĐPCM.
Sử dụng công thức\[{u_n} = {u_1} + \left[ {n - 1} \right]d\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\eqalign{
& {u_m} = {u_1} + \left[ {m - 1} \right]d\,\left[ 1 \right] \cr
& {u_k} = {u_1} + \left[ {k - 1} \right]d\,\left[ 2 \right] \cr} \]
Lấy [1] trừ [2] ta được :
\[{u_m} - {u_k} \]\[ = {u_1} + \left[ {m - 1} \right]d - {u_1} - \left[ {k - 1} \right]d \]\[= \left[ {m - 1 - k + 1} \right]d\]\[= \left[ {m - k} \right]d\]
\[\Rightarrow {u_m} = {u_k} + \left[ {m - k} \right]d\]
Áp dụng :
Ta có:
\[\eqalign{
& {u_{18}} - {u_3} = \left[ {18 - 3} \right]d = 15d = 75 \cr
& \Rightarrow d = 5 \cr} \]