- LG a
- LG b
- LG c
Câu 1.Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi N là điểm nằm trên cạnh AB và \[\left[ \alpha \right]\]là mặt phẳng đi qua ba điểm D, N, B.
LG a
Mặt phẳng\[\left[ \alpha \right]\] cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình gì?
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[\left[ \alpha \right] \cap C'D' = E\]thì thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \[mp\left[ \alpha \right]\]là tứ giác DNBE.
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = DN \hfill \cr
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {A'B'C'D'} \right] = B'E \hfill \cr
\left[ {ABCD} \right]\parallel \left[ {A'B'C'D'} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow DN\parallel B'E.\]
Tương tự ta có:
\[\left\{ \matrix{
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {AA'B'B} \right] = {NB'} \hfill \cr
\left[ \alpha \right] \cap \left[ {CC'D'D} \right] = DE \hfill \cr
\left[ {AA'B'B} \right]\parallel \left[ {CC'D'D} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow NB'\parallel DE.\]
Xét tứ giác DNBE có: DN // BE, NB // DE.
Vậy DNBE là hình bình hành.
LG b
Chứng minh rằng mặt phẳng\[\left[ \alpha \right]\] phân chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện \[{H_1}\] và \[{H_2}\] bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
\[mp\left[ \alpha \right]\] chia khối hộp thành hai khối đa diện \[{H_1}:ADNA'B'ED'\] và \[{H_2}:C'B'ECDNB.\]
Gọi O là giao điểm hai đường chéo BD và NE của hình bình hành DNBE suy ra O là trung điểm của BD. Do đó O là tâm hình hộp ABCD.ABCD.
Gọi \[{D_{[O]}}\]là phép đối xứng qua tâm O ta có:
\[{D_{[O]}}\]: \[A \to C'\]
\[\eqalign{
& N \to E \cr
& B' \to D \cr
& E \to N \cr
& D' \to B \cr
& A' \to C \cr
& D \to B' \cr} \]
\[ \Rightarrow \]\[{D_{[O]}}\]: \[ADNA'B'ED' \to C'B'ECDNB\] hay\[{D_{[O]}}\]: \[{H_1} \to {H_2}.\]
Mà phép đối xứng tâm O là phép dời hình nên \[{V_{{H_1}}} = {V_{{H_2}}}.\]
LG c
Tính tỉ số thể tích của khối đa diện\[{H_1}\] và thể tích của khối tứ diện AABD.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = V.\]
Ta có: \[{V_{AA'BD}} = {V_{A'.ABD}}.\]
\[{S_{\Delta ABD}} = {1 \over 2}{S_{ABCD}} \]
\[\Rightarrow {V_{A'.ABD}} = {1 \over 3}AA'.{S_{\Delta ABD}} \]\[= {1 \over 3}.AA'.{1 \over 2}{S_{ABCD}} = {1 \over 6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {V \over 6}.\]
Mà \[{V_{{H_1}}} = {V_{{H_2}}} = {V \over 2}.\]
Suy ra \[{{{V_{{H_1}}}} \over {{V_{AA'BD}}}} = {{{V \over 2}} \over {{V \over 6}}} = 3.\]