Đề bài
Dùng công thức lượng giác [tổng của hai cosin] tìm tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc\[\omega \], cùng biên độ A và có độ lệch pha\[\Delta \varphi \]. Đối chiếu với kết quả nhận được bằng phương pháp sử dụng giản đồ Fre - nen.
Lời giải chi tiết
Tổng của hai dao động của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc \[\omega \], cùng biên độ A và có độ lệch pha \[\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1}.\]
\[\eqalign{
& {x_1} = A\cos [\omega t + {\varphi _1}];{x_2} = A\cos [\omega t + {\varphi _2}]. \cr
& \Rightarrow x = {x_1} + {x_2} = A\cos [\omega t + {\varphi _1}] + A\cos [\omega t + {\varphi _2}]. \cr
& = A\left[ {\cos [\omega t + {\varphi _1}] + \cos [\omega t + {\varphi _2}]} \right]. \cr
& = 2A\cos {{\omega t + {\varphi _1} + \omega t + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{\omega t + {\varphi _1} - \omega t - {\varphi _2}} \over 2} \cr
& = 2A\cos {{2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2} \cr
& x = 2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}\cos \left[ {\omega t + {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}} \right]. \cr} \]
+] Biên độ của dao động tổng hợp là \[2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}\]
+] Pha ban đầu của dao động tổng hợp : \[\varphi = {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\]
* Nếu dùng phương pháp giản đồ Fre-nen thì :
\[\eqalign{
& {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left[ {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right] \cr
& = {A^2} + {A^2} + 2{A^2}\cos \Delta \varphi = 2{A^2}[1 + \cos \Delta \varphi ] \cr
& = 2{A^2}.2{\cos ^2}{{\Delta \varphi } \over 2} = 4{A^2}{\cos ^2}{{\Delta \varphi } \over 2}. \cr
& \Rightarrow A = 2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}. \cr
& \tan \varphi = {{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}} \over {{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} = {{A\sin {\varphi _1} + A\sin {\varphi _2}} \over {A\cos {\varphi _1} + A\cos {\varphi _2}}} \cr
& {{\sin {\varphi _1} + \sin {\varphi _2}} \over {\cos {\varphi _1} + \cos {\varphi _2}}} = {{2\sin {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2}} \over {2\cos {{\varphi _1^{} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2}}}\ = \tan {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2} \cr
& \Rightarrow \varphi = {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}. \cr} \]