- LG a
- LG b
- LG c
Cho các vectơ: \[\overrightarrow u = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j \,;\] \[\overrightarrow v = 3\overrightarrow i + 5\left[ {\overrightarrow j - \overrightarrow k } \right]\,;\] \[\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow i - \overrightarrow k + 3\overrightarrow j \]
LG a
Tìm toạ độ của các vectơ đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng lý thuyết:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {a;b;c} \right]
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j \\= 1.\overrightarrow i + \left[ { - 2} \right]\overrightarrow j + 0\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {1; - 2;0} \right]\\
\overrightarrow v = 3\overrightarrow i + 5\left[ {\overrightarrow j - \overrightarrow k } \right] \\= 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 5\overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow v = \left[ {3;5; - 5} \right]\\
\overrightarrow k = 2\overrightarrow i - \overrightarrow k + 3\overrightarrow j \\= 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \\
\Rightarrow \overrightarrow k = \left[ {2;3; - 1} \right]
\end{array}\]
LG b
Tìm côsin của các góc \[\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right]\,;\,\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right]\,;\,\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right]\].
Phương pháp giải:
Cô sin góc hợp bởi hai véc tơ:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \left[ {{a_1};{b_1};{c_1}} \right],\overrightarrow v = \left[ {{a_2};{b_2};{c_2}} \right]\\
\Rightarrow \cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\\
= \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\overrightarrow i = \left[ {1;0;0} \right],\overrightarrow j \left[ {0;1;0} \right],\] \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\]
\[\eqalign{
& \cos \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right] = {{\overrightarrow v .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} \cr &= \frac{{3.1 + 5.0 - 5.0}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {3 \over {\sqrt {59} }} \cr
& \cos \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right] = {{\overrightarrow v .\overrightarrow j } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow j } \right|}} \cr &= \frac{{3.0 + 5.1 - 5.0}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {5 \over {\sqrt {59} }} \cr
& \cos \left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right] = {{\overrightarrow v .\overrightarrow k } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}} \cr &= \frac{{3.0 + 5.0 - 5.1}}{{\sqrt {9 + 25 + 25} .\sqrt 1 }}= {{ - 5} \over {\sqrt {59} }} \cr} \]
LG c
Tính các tích vô hướng \[\overrightarrow u .\overrightarrow v \,,\,\overrightarrow u .\overrightarrow {\rm{w}} \,,\,\overrightarrow v .\overrightarrow {\rm{w}} \].
Phương pháp giải:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow u = \left[ {{a_1};{b_1};{c_1}} \right],\overrightarrow v = \left[ {{a_2};{b_2};{c_2}} \right]\\
\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.3 - 2.5 + 0\left[ { - 5} \right] = - 7 \cr
& \overrightarrow u .\overrightarrow w = 1.2 - 2.3 + 0\left[ { - 1} \right] = - 4 \cr
& \overrightarrow v .\overrightarrow w = 3.2 + 5.3 + [-5].[-1] = 26 \cr} \]