Đề bài
Cho hình chóp cụt tứ giác đều \[ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\]có các cạnh đáy \[5cm\] và \[10cm\], đường cao của mặt bên bằng \[5cm.\] Hãy tính:
a] Diện tích xung quanh của hình chóp cụt.
b] Tính cạnh bên và chiều cao của hình chóp cụt.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Định lí Pytago trong tam giác vuông: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
- Diện tích xung quanh của hình chóp cụt bằng tổng diện tích các mặt bên.
Lời giải chi tiết
a] Diện tích một mặt bên là hình thang có đáy nhỏ 5cm, đáy lớn 10cm và chiều cao hình thang là 5cm bằng:
\[\displaystyle S = {1 \over 2}\left[ {5 + 10} \right].5 = 37,5\;[c{m^2}]\]
Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:
\[{S_{xq}} = 4.S=4.37,5 = 150\;[c{m^2}]\]
b] Lấy I, J lần lượt là trung điểm của \[A_1B_1,AB\] thì \[IJ=5cm\] là đường cao của mặt bên \[A_1B_1BA\]
Kẻ \[A_1H AB\] tại \[H\], ta có:
\[A_1I = A_1B_1:2=2,5cm, \]\[AJ =AB:2= 5cm\]
\[ \Rightarrow AH =[AB-A_1B_1]:2\]\[=[10-5]:2=2,5\,[cm]\] [vì \[A_1B_1BA\] là hình thang cân]
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[A_1HA\], ta có:
\[{A_1}{A^2} = {A_1}{H^2} + A{H^2} \]\[\,= {5^2} + 2,{5^2} = 31,25\]
\[ \Rightarrow {A_1}A = \sqrt {31,25} \approx 5,59\;[cm]\]
Vì \[O_1I\] là đường trung bình của tam giác \[A_1B_1D_1\] nên \[O_1I=A_1D_1:2=5:2=2,5cm\]
Vì \[OJ\] là đường trung bình của tam giác \[ABD\] nên\[OJ = AD:2=10:2=5cm.\]
Kẻ \[II_1 OJ\], suy ra tứ giác \[O_1II_1O\] là hình chữ nhật nên \[OI_1=O_1I=2,5cm\]
Do đó \[I_1J =OJ-OI_1=5-2,5= 2,5\,cm\].
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[II_1J\], ta có:
\[I{J^2} = I{I_1}^2 + {{\rm I}_1}{J^2}\]
\[ \Rightarrow I{I_1}^2 = I{J^2} - {I_1}{J^2} \]\[\,= {5^2} - 2,{5^2} = 18,75\]
\[ \Rightarrow I{I_1} = \sqrt {18,75} \approx 4,33\;[cm]\]
Vậy \[OO_1= I{I_1}\approx 4,33\; [cm]\].