Đề bài
Biết \[\tan \alpha = \sqrt 2 \]. Tính giá trị của biểu thức \[A = \dfrac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dung công thức \[\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\] rút \[\sin \alpha \] theo \[\cos \alpha \] và thay vào biểu thức \[A\] tính giá trị.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\tan \alpha = \sqrt 2 \]\[ \Rightarrow \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \sqrt 2 \] \[ \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt 2 \cos \alpha \]
\[ \Rightarrow A = \dfrac{{3\sqrt 2 \cos \alpha - \cos \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha + \cos \alpha }}\] \[ = \dfrac{{\cos \alpha \left[ {3\sqrt 2 - 1} \right]}}{{\cos \alpha \left[ {\sqrt 2 + 1} \right]}} = \dfrac{{3\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}\] \[ = \dfrac{{\left[ {3\sqrt 2 - 1} \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]}}\] \[ = \dfrac{{6 - 4\sqrt 2 + 1}}{{2 - 1}} = 7 - 4\sqrt 2 \]
Vậy \[A = 7 - 4\sqrt 2 \].
Cách khác:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \\
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\
= \frac{1}{{1 + {{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2}}} = \frac{1}{3}
\end{array}\]
Mà \[\tan \alpha = \sqrt 2 > 0\] nên \[0^0 < \alpha < 90^0\] hay \[\cos\alpha > 0\].
Do đó \[\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
\[\Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha \]\[= \sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\]
Vậy
\[\begin{array}{l}
A = \frac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\\
= \frac{{3.\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}\\
= 7 - 4\sqrt 2
\end{array}\]