Đề bài
Tam giác vuông \[ABC\] có \[\widehat A = 90^\circ ,\] \[AB = 12cm, AC = 16cm;\] đường phân giác góc \[A\] cắt \[BC\] tại \[D.\]
a] Tính \[BC, BD\] và \[CD.\]
b] Vẽ đường cao \[AH,\] tính \[AH, HD\] và \[AD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác:Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.
- Tính chất: \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\]
Lời giải chi tiết
a] Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[ABC\], ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} \]\[\,= 400\]
\[ \Rightarrow BC = 20 \;[cm]\].
Vì \[AD\] là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên ta có:
\[\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\] [tính chất đường phân giác của tam giác]
Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:
\[\displaystyle{{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\]
\[ \Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
\[ \Rightarrow\displaystyle{{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
\[ \Rightarrow\displaystyle DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} \]\[\,\displaystyle= {{60} \over 7}\] [cm]
Vậy \[DC = BC - DB = \displaystyle 20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}\] [cm]
b] Ta có \[\displaystyle {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC\]
\[ \Rightarrow AB.AC = AH.BC\]
\[ \Rightarrow\displaystyleAH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\] [cm]
Áp dụng định lí Py-ta-go vàotam giác vuông \[AHB\], ta có:
\[A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\]
\[ \RightarrowH{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\]\[\, = {12^2} - {\left[ {9,6} \right]^2} = 51,84 \]
\[\Rightarrow HB = 7,2\;[cm] \]
Vậy \[\displaystyle HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2 \]\[\,\approx 1,37\; [cm]\]
Áp dụng định lí Py-ta-go vàotam giác vuông \[AHD\], ta có:
\[A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \]\[\,= {\left[ {9,6} \right]^2} + {\left[ {1,37} \right]^2} \]\[\,= 94,0369\]
\[ \RightarrowAD 9,7\; [cm]\].