Đề bài
Đường tròn đi qua ba điểm \[A[0; 2]; B[-2; 0]\] và \[C[2; 0]\] có phương trình là:
A. \[x^2+ y^2=8\]
B. \[x^2+ y^2+2x + 4 = 0\]
C. \[x^2+ y^2-2x - 8 = 0\]
D. \[x^2+ y^2-4 = 0\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Gọi phương trình đường tròn cần tìm \[[C] : x^2+ y^2 2ax 2by + c = 0\] với \[a^2+b^2-c>0\].
\[A\left[ {0;2} \right] \in \left[ C \right] \] \[\Leftrightarrow {0^2} + {2^2} - 2a.0 - 2b.2 + c = 0 \] \[\Leftrightarrow 4 - 4b + c = 0\]
\[B\left[ {-1;0} \right] \in \left[ C \right] \] \[\Leftrightarrow {[-2]^2} + {0^2} - 2a.[-2] - 2b.0 + c = 0\] \[\Leftrightarrow 4 + 4a + c = 0\]
\[C\left[ {2;0} \right] \in \left[ C \right] \] \[\Leftrightarrow {2^2} + {0^2} - 2a.2 - 2b.0 + c = 0\] \[\Leftrightarrow 4 - 4a + c = 0\]
Ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
4 - 4b + c = 0 \hfill \cr
4 + 4a + c = 0 \hfill \cr
4 - 4a + c = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 0 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = - 4 \hfill \cr} \right.\]
Vậy phương trình đường tròn \[[C]\] là: \[x^2+ y^2-4 = 0\]
Do đó chọn D.
Cách khác:
Dễ thấy:
\[\begin{array}{l}
x_A^2 + y_A^2 = {0^2} + {2^2} = 4\\
x_B^2 + y_B^2 = {\left[ { - 2} \right]^2} + {0^2} = 4\\
x_C^2 + y_C^2 = {2^2} + {0^2} = 4
\end{array}\]
Nên ba điểm \[A,B, C\] cùng thuộc đường tròn có phương trình:
\[{x^2} + {y^2} = 4 \] \[\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4 = 0\]
Cách 2:
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 2; - 2} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {2; - 2} \right]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left[ { - 2} \right].2 + \left[ { - 2} \right].\left[ { - 2} \right] = 0 \]
\[\Rightarrow AB \bot AC\] hay tam giác ABC vuông tại A.
Khi đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là đường tròn đường kính BC.
\[B\left[ { - 2;0} \right],C\left[ {2;0} \right] \Rightarrow O\left[ {0;0} \right]\] là trung điểm BC.
\[BC = \sqrt {{{\left[ {2 + 2} \right]}^2} + {{\left[ {0 - 0} \right]}^2}} = 4\]
\[ \Rightarrow R = \dfrac{{BC}}{2} = 2\]
Đường tròn [C] có tâm O[0;0] bán kính R=2 nên:
[C]:\[{x^2} + {y^2} = 4 \] \[\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4 = 0\]