Đề bài
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], cạnh \[SA\] bằng \[a\] và vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\].
a] Chứng minh rằng bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b] Mặt phẳng \[[α]\] đi qua \[A\] và vuông góc với cạnh \[SC\] lần lượt cắt \[SB, SC\] và \[SD\] tại \[B, C\] và \[D\]. Chứng minh \[BD\] song song với \[BD\] và \[AB\] vuông góc với \[SB\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
b] Chứng minh\[AB' \bot \left[ {SBC} \right] \Rightarrow AB' \bot SB\]
Chứng minh hai đường thẳng \[BD\] và \[B'D'\] cùng vuông góc với mặt phẳng \[[SAC]\]
Lời giải chi tiết
a]\[SA \bot \left[ {ABCD} \right] \] \[\Rightarrow SA \bot AB;\,\,SA \bot AD\]\[ \Rightarrow \Delta SAB,\,\,\Delta SAD\] là các tam giác vuông tại \[A\].
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left[ {SAB} \right] \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\] vuông tại \[B\].
Tương tự:
\[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left[ {SAD} \right] \Rightarrow CD \bot SD\]\[ \Rightarrow \Delta SCD\] vuông tại \[D\].
b] Ta có\[BC \bot \left[ {SAB} \right]\,\,\left[ {cmt} \right] \Rightarrow AB' \bot BC.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot \left[ \alpha \right]\\
AB' \subset \left[ \alpha \right]
\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot AB'\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
AB' \bot BC\\
AB' \bot SC
\end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot \left[ {SBC} \right]\]
\[\Rightarrow AB' \bot SB\].
Chứng minh tương tự ta có\[AD' \bot \left[ {SCD} \right] \Rightarrow AD' \bot SD\].
Dễ thấy \[\Delta SAD = \Delta SAB\left[ {c.g.c} \right]\] \[ \Rightarrow AB' = AD'\] [hai đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh]
\[ \Rightarrow \Delta SAD' = \Delta SAB'\] \[ \Rightarrow SD' = SB'\] [cạnh tương ứng]
Mà \[SD = SB\] [do \[\Delta SAD = \Delta SAB\]] nên \[\dfrac{{SD'}}{{SD}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} \Rightarrow B'D'//BD\]
Cách khác:
b] Ta có thể chứng minh \[B'D'//BD\] như sau:
\[\begin{array}{l}
SA \bot \left[ {ABCD} \right] \Rightarrow SA \bot BD\\
\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\\
BD \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left[ {SAC} \right]\\
\Rightarrow BD \bot SC\\
SC \bot \left[ {AB'C'D'} \right]\\
\Rightarrow BD//\left[ {AB'C'D'} \right]\\
\left\{ \begin{array}{l}
BD//\left[ {AB'C'D'} \right]\\
BD \subset \left[ {SBD} \right]\\
\left[ {SBD} \right] \cap \left[ {AB'C'D'} \right] = B'D'
\end{array} \right.\\
\Rightarrow B'D'//BD
\end{array}\]