Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho hai đường thẳng chéo nhau
\[d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.\]
LG a
Viết phương trình các mặt phẳng \[[α]\] và \[[β]\] song song với nhau và lần lượt chứa \[d\] và \[d'\].
Phương pháp giải:
+ Mặt phẳng \[[α]\] chính là mặt phẳng chứa \[d\] và song song với \[d'\]
+ Mặt phẳng \[\beta\] chính là mặt phẳng chứa \[d'\] và song song với \[d\]
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \[[α]\] chính là mặt phẳng chứa \[d\] và song song với \[d'\]
\[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [-1; 1; -1]\].
\[d'\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {a'} = [2; 1; 1]\]
Vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \]của \[[α]\] vuông góc với \[\overrightarrow a \]và \[\overrightarrow {a'} \]nên:\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] = \left[ {2; - 1;3} \right]\]
Đường thẳng \[d\] chứa điểm \[A[2; -1; 1]\]. Mặt phẳng \[[α]\] chứa \[d\] nên chứa điểm \[A\]. Phương trình của \[[α]\]:
\[2[x - 2] - 1[y + 1] - 3[z - 1] = 0\]
\[\Leftrightarrow 2x - y - 3z - 2 = 0\]
Mặt phẳng \[[\beta]\] chính là mặt phẳng chứa \[d'\] và song song với \[d\] nên cũng nhận\[\overrightarrow n = \left[ {2; - 1;3} \right]\] là VTPT và đi qua điểm\[B\left[ {2;0;1} \right]\]
Suy ra phương trình mặt phẳng \[[β]\]: \[2[x-2]-y-3[z-1]=0 \Leftrightarrow 2x - y - 3z - 1 = 0\]
LG b
Lấy hai điểm \[M[2 ; -1 ; 1]\] và \[M'[2 ; 0 ; 1]\] lần lượt trên \[d\] và \[d'\]. Tính khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[[β]\] và khoảng cách từ \[M'\] đến mặt phẳng \[[α]\]. So sánh hai khoảng cách đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[d [M,[β]]\] =\[{{\left| {2.2 - 1.[ - 1] - 3.1 - 1} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{[ - 1]}^2} + {{[ - 3]}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}\]
\[d\left[ {M';\left[ \alpha \right]} \right] = \frac{{\left| {2.2 - 1.0 - 3.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}\]
\[\Rightarrow d[M,[β]] = d[M', [α]]\]