Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho hình lăng trụ đứng tam giác \[ABC.A'B'C'\] có tất cả các cạnh đều bằng \[a\].
LG a
a] Tính thể tích khối tứ diện \[A'BB'C\].
Phương pháp giải:
Gọi \[M\] là trung điểm của \[B'C'\]. Chứng minh\[A'M \bot \left[ {BCC'B'} \right]\]. Áp dụng công thức\[{V_{A'BB'C}} = \dfrac{1}{3}A'M.{S_{BB'C}}\].
Lời giải chi tiết:
a] Ta tính thể tích hình chóp \[\displaystyle A'.BCB'\].
Gọi \[\displaystyle M\] là trung điểm của \[\displaystyle B'C'\], ta có: \[\displaystyle A'M \bot B'C'\] [1]
Lăng trụ \[\displaystyle ABC.A'B'C'\] là lăng trụ đứng nên:
\[\displaystyle BB' \bot [A'B'C'] \Rightarrow BB' \bot A'M\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\displaystyle A'M \bot [BB'C']\] hay \[\displaystyle A'M\] là đường cao của hình chóp \[\displaystyle A'.BCB'\].
Ta có: \[\displaystyle A'M\] = \[\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2};{S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}\]
\[\displaystyle \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}}\] \[ \Rightarrow {V_{A'BB'C}} =\displaystyle {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\]
Cách khác:
Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp \[A.ABC, C.ABC\] và \[C.ABB\]
Ta có: \[{V_{A'.ABC}} = {V_{A'B'C'}} =\displaystyle \frac{1}{3}Sh\]trong đó \[S\] là diện tích đáy \[S = {\rm{ }}{S_{ABC\;}} = {\rm{ }}{S_{ABC}}\]và \[h\] là chiều cao của hình lăng trụ
Lại có:\[{V_{ABC.ABC}}\; = {\rm{ }}S.h\]
Do đó, \[{V_{C.A'B'B}} =\displaystyle Sh - \frac{1}{3}Sh - \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh\]
Trong đó, tam giác \[ABC\] là tam giác đều có độ dài cạnh bằng \[a\] nên \[\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]
Vì đây là hình lăng trụ đứng nên \[h = AA = BB= CC = a.\]
Vậy thể tích hình chóp \[C.ABB\] là:
\[{V_{C.A'B'B}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\]
LG b
b] Mặt phẳng đi qua \[A'B'\] và trọng tâm tam giác \[ABC\], cắt \[AC\] và \[BC\] lần lượt tại \[E\] và \[F\]. Tính thể tích hình chóp \[C.A'B'FE\].
Phương pháp giải:
Phân chia và lắp ghép các khối đa diện:\[V = {V_{B'.CEF}} + {V_{B'.A'EC}} = {V_1} + {V_2}\]
Lời giải chi tiết:
Thể tích hình chóp \[\displaystyle C.A'B'EF\] bằng tổng thể tích hai hình chóp:
- \[\displaystyle V_1\]là thể tích hình chóp đỉnh \[\displaystyle B'\], đáy là tam giác \[\displaystyle CEF\].
- \[\displaystyle V_2\]là thể tích hình chóp đỉnh \[\displaystyle B'\], đáy là tam giác \[\displaystyle A'EC\].
Do \[\displaystyle [ABC] // [A'B'C']\] nên dễ thấy \[\displaystyle EF // AB\]. Ta cũng có: \[\displaystyle EF\] = \[\displaystyle {2 \over 3}a\]
Hình chóp \[\displaystyle B'.CEF\] có chiều cao \[\displaystyle BB' = a\] và diện tích đáy là: \[\displaystyle {S_{C{\rm{EF}}}}=\frac{1}{2}EF.CG= {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}\]
Từ đây ta có: \[\displaystyle {V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}\]
Do \[\displaystyle EC = {2 \over 3}AC\] nên\[\displaystyle {S_{A'BE}} = \frac{1}{2}A'A.EC = \frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^2}}}{3}\]
Gọi \[\displaystyle I\] là trung điểm của \[\displaystyle A'C'\] ta có: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}B'I \bot A'C\\B'I \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'I \bot \left[ {ACC'A'} \right] \Rightarrow B'I \bot \left[ {A'EC} \right]\]
Hình chóp \[\displaystyle B'.A'EC\] có chiều cao là \[\displaystyle B'I\] bằng \[\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}\]nên\[\displaystyle {V_2} = \frac{1}{3}.B'I.{S_{A'EC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\]
Vậy thể tích hình chóp \[\displaystyle C.A'B'FE\] là: \[\displaystyle V = V_1+ V_2\]= \[\displaystyle {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\]