Đề bài
Cho tam giác\[ABC\]cân tại\[A.\]Vẽ điểm\[D\]sao cho\[A\]là trung điểm của\[BD.\]Kẻ đường cao\[AE\]của\[ABC,\]đường cao\[AF\]của\[ACD.\]Chứng minh rằng \[\widehat {EAF} = 90^\circ \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+]Trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác của tam giác đó.
+] Hai góc kề bù có tổng bằng \[180^0.\]
Lời giải chi tiết
Vì\[ABC\]cân tại\[A,\]có \[A{\rm{E}} \bot BC\left[ {gt} \right]\]
Hay \[AE\]là đường cao, suy ra\[AE\]cũng là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\]
\[ \Rightarrow \widehat {EAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\] [1]
Vì\[ABC\]cân tại\[A\]nên \[AB=AC\] mà \[AB=AD\] [vì A là trung điểm BD], suy ra: \[AD=AC=AB\] nên\[ADC\]cân tại\[A.\]
Vì\[ADC\]cân tại\[A,\]có \[{\rm{AF}} \bot {\rm{DC}}\left[ {gt} \right]\]
Hay\[AF\]là đường cao, suy ra\[AF\]cũng là đường phân giác của \[\widehat {CA{\rm{D}}}\]
\[ \Rightarrow \widehat {FAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {DAC}\] [2]
Mà \[\widehat {BAC}\]và \[\widehat {CA{\rm{D}}}\]là hai góc kề bù nên \[\widehat {BAC} + \widehat {DAC}=180^0\] [3]
Từ [1], [2], [3] ta có: \[\widehat {EAC} + \widehat {FAC} \]\[= \dfrac{1}{2}\left[ {\widehat {BAC} + \widehat {DAC}} \right] \]\[= \dfrac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \]
Hay\[\widehat {EAF} = 90^\circ \]
Suy ra: \[A{\rm{E}} \bot {\rm{AF}}\]