Đề bài
Cho cấp số nhân \[\left[ {{u_n}} \right]\] có công bội là q và số các số hạng là chẵn. Gọi \[{S_c}\] là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và \[{S_l}\] là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng :\[q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_l}}}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là \[{u_1}\] và công bội là\[q\]
Lập công thức tính \[{S_c},{S_l}\] và suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là \[{u_1}\] và công bội là\[q\]
Giả sử CSN có \[2n\] số hạng.
Ta có
\[\begin{array}{l}
{S_l} = {u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n - 1}}\\
= {u_1} + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}.{q^{2n - 2}}\,\,[1]\\
{S_c} = {u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}}\\
= {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{2n - 1}}\,\,[2]
\end{array}\]
Nhân hai vế của [1] với q ta có
\[q{S_l} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + ... +u_1q^{2n-1}= {S_c}\]
Vậy \[q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_l}}}.\]