Đề bài - bài 5.98 trang 215 sbt đại số và giải tích 11

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau:

\[y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\]

Lời giải chi tiết

\[\begin{array}{l}
y' = \left[ x \right]'\sqrt {1 + {x^2}} + x\left[ {\sqrt {1 + {x^2}} } \right]'\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left[ {1 + {x^2}} \right]'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\]

\[\begin{array}{l}
y'' = \dfrac{{\left[ {1 + 2{x^2}} \right]'\sqrt {1 + {x^2}} - \left[ {1 + 2{x^2}} \right]\left[ {\sqrt {1 + {x^2}} } \right]'}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left[ {1 + 2{x^2}} \right].\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \dfrac{{\left[ {1 + 2{x^2}} \right].x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{1 + {x^2}}}\\
= \dfrac{{4x\left[ {1 + {x^2}} \right] - x\left[ {1 + 2{x^2}} \right]}}{{\left[ {1 + {x^2}} \right]\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
= \dfrac{{3x + 2{x^3}}}{{\left[ {1 + {x^2}} \right]\sqrt {1 + {x^2}} }}
\end{array}\]