- LG a
- LG b
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :
LG a
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[{x_0}\] \[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\] ;
Tập xác định của hàm số là D = R
- Nếu \[x \ne \sqrt 2 \]thì \[f\left[ x \right] = {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}\]
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \[\left[ { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right]\]và \[\left[ {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right]\]
- Tại \[x = \sqrt 2 \]:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left[ {x - \sqrt 2 } \right]\left[ {x + \sqrt 2 } \right]} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left[ {x + \sqrt 2 } \right] = 2\sqrt 2 = f\left[ {\sqrt 2 } \right] \cr}\]
Vậy hàm số liên tục tại\[x = \sqrt 2 \]
Kết luận: \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên R
LG b
\[g\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{1 - x} \over {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục tại \[{x_0}\] \[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
\[g\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{1 - x} \over {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\] có tập xác định là D = R
- Nếu \[x \ne 2\]thì \[g\left[ x \right] = {{1 - x} \over {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}\]là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng \[\left[ { - \infty ,2} \right]\]và \[\left[ {2, + \infty } \right]\]
Tại x = 2 : \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - x} \over {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}} = - \infty \]
Vậy hàm số \[y = g\left[ x \right]\]không liên tục tại x = 2
Kết luận: \[y = g\left[ x \right]\]liên tục trên các khoảng \[\left[ { - \infty ,2} \right]\]và \[\left[ {2, + \infty } \right]\] nhưng gián đoạn tại x = 2.