- LG a
- LG b
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2{\rm{ voi }} n\ge {\rm{1}}{\rm{.}}\end{array} \right.\]
LG a
Tìm công thức tính \[{u_n}\] theo \[n\]
Phương pháp giải:
- Tính \[u_2,u_3,...,u_{n+1}\]
- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \[u_{n+1}\] theo \[n\].
-Xét hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n}\] và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}\]
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:
\[{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}}\] \[ = 5 + \left[ {{u_1} + 1} \right] + \left[ {{u_2} + 4} \right] + ... + \left[ {{u_n} + 3n - 2} \right]\]
\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left[ {3n - 2} \right]\]
Ta chứng minh \[1 + 4 + 7 + ... + \left[ {3n - 2} \right] = \dfrac{{n\left[ {3n - 1} \right]}}{2}\] bằng quy nạp.
Đặt \[{S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left[ {3n - 2} \right]\]
+] Với \[n = 1\] thì \[{S_1} = 1\] đúng.
+] Giả sử \[{S_k} = \dfrac{{k\left[ {3k - 1} \right]}}{2}\], ta chứng minh \[{S_{k + 1}} = \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 2} \right]}}{2}\].
Thật vậy,
\[{S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left[ {k + 1} \right] - 2\] \[ = \dfrac{{k\left[ {3k - 1} \right]}}{2} + 3k + 1\] \[ = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\] \[ = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} = \dfrac{{\left[ {k + 1} \right]\left[ {3k + 2} \right]}}{2}\]
Do đó ta được \[1 + 4 + 7 + ... + \left[ {3n - 2} \right] = \dfrac{{n\left[ {3n - 1} \right]}}{2}\]
Vậy \[{u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left[ {3n - 1} \right]}}{2}\] hay \[{u_n} = 5 + \dfrac{{\left[ {n - 1} \right]\left[ {3n - 4} \right]}}{2}\]
LG b
Chứng minh \[\left[ {{u_n}} \right]\] là dãy số tăng
Phương pháp giải:
- Tính \[u_2,u_3,...,u_{n+1}\]
- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính \[u_{n+1}\] theo \[n\].
-Xét hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n}\] và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n}\] \[ = 5 + \dfrac{{n\left[ {3n - 1} \right]}}{2} - 5 - \dfrac{{\left[ {n - 1} \right]\left[ {3n - 4} \right]}}{2}\] \[ = \dfrac{{3{n^2} - n - 3{n^2} + 3n + 4n - 4}}{2}\] \[ = \dfrac{{6n - 4}}{2} > 0,\forall n\].
Vậy dãy số đã cho tăng.