Đề bài
Chứng minh rằng tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABClà đường thẳng dvuông góc với mặt phẳng [ABC] tại tâm Ocủa đường tròn [C]ngoại tiếp tam giác ABC đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh hai chiều:
- Giả sử \[M\] cách đều \[A,B,C\] suy ra \[M\] nằm trên đường thẳng vuông góc với \[[ABC]\] tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
- Giả sử \[M\] thuộcđường thẳng vuông góc với \[[ABC]\] tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] và chứng minh\[M\] cách đều \[A,B,C\].
Lời giải chi tiết
Phần thuận. Nếu MA = MB = MC nghĩa là Mcách đều ba đỉnh của tam giác ABCvà MOvuông góc với mặt phẳng [ABC]thì ta có ba tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau. Từ đó ta suy ra OA = OB = OC nghĩa là A, B, Cnằm trên đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC.
Vậy điểm Mcách đều ba đỉnh của tam giác ABCthì nằm trên đường thẳng dvuông góc với mặt phẳng [ABC]tại tâm Ocủa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phần đảo.Nếu ta lấy một điểm Mbất kì thuộc đường thẳng d nói trên thì ta có ba tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau. Do đó ta suy ra MA = MB = MC nghĩa là điểm Mcách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
Kết luận.Tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABClà đường thẳng dvuông góc với mặt phẳng [ABC] tại tâm Ocủa đường tròn [C]ngoại tiếp tam giác ABCđó. Người ta thường gọi đường thẳng dlàtrục của đường tròn[C].