Bài toán
Gọi \[P\left[ n \right]\] là một mệnh đề chứa biến \[n\left[ {n \in {N^*}} \right]\]. Chứng minh \[P\left[ n \right]\] đúng với mọi số tự nhiên \[n \in {N^*}\].
Phương pháp quy nạp toán học
- Bước 1: Chứng minh \[P\left[ n \right]\] đúng với \[n = 1\].
- Bước 2: Với \[k\] là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left[ n \right]\] đúng với \[n = k \ge 1\], chứng minh \[P\left[ n \right]\] cũng đúng khi \[n = k + 1\].
Chú ý:
Đối với bài toán chứng minh \[P\left[ n \right]\] đúng với mọi \[n \ge p\] với \[p\] là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh \[P\left[ n \right]\] đúng với \[n = p\].
- Bước 2: Với \[k \ge p\] là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left[ n \right]\] đúng với \[n = k\], chứng minh \[P\left[ n \right]\] cũng đúng khi \[n = k + 1\].
Ví dụ: Chứng minh \[{n^7} - n\] chia hết cho \[7\] với mọi \[n \in {N^*}\].
Giải:
Đặt \[P\left[ n \right] = {n^7} - n\].
- Với \[n = 1\] thì \[P\left[ 1 \right] = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7\] nên \[P\left[ 1 \right]\] đúng.
- Giả sử mệnh đề đúng với \[n = k \in {N^*}\], tức là \[P\left[ k \right] = \left[ {{k^7} - k} \right] \vdots 7\].
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với \[n = k + 1\], tức là: \[P\left[ {k + 1} \right] = {\left[ {k + 1} \right]^7} - \left[ {k + 1} \right] \vdots 7\]
Ta có: \[{\left[ {k + 1} \right]^7} - \left[ {k + 1} \right]\] \[= C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4}\] \[+ C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left[ {k + 1} \right]\]
\[= {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3}\] \[+ 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1 \] \[= \left[ {{k^7} - k} \right] + 7\left[ {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right]\]
Do \[[{k^7} - k] \vdots 7\] và \[7\left[ {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right] \vdots 7\] nên \[P\left[ {k + 1} \right] = {\left[ {k + 1} \right]^7} - \left[ {k + 1} \right] \vdots 7\].
Vậy mệnh đề đã cho đúng.