Thế nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
|
Đối với bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng thì việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng là điều rất quan trọng. Đây là một trong những điều kiện giúp cho chúng ta có thể tìm được phương trình đường thẳng, tuy nhiên cũng không phải là yêu cầu bắt buộc phải có nó thì mới viết được phương trình đường thẳng. Chúng ta còn có những cách khác nữa và tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Show Trong bài giảng này thầy sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về vectơ pháp tuyến của đường thẳng, đồng thời chỉ ra cho các bạn biết một số trường hợp có thể gặp để xác định được vectơ pháp tuyến. Bài giảng: Phương trình đường thẳng trong không gian 1. Vectơ pháp tuyến là gì ?Vectơ pháp tuyến: Vectơ $\vec{n}$ khác vectơ – không, có giá vuông góc với đường thẳng $d$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$.
Cụ thể như sau: Nếu $\vec{n} =(1;2)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ thì $\vec{n_1} =(2;4) =2\vec{n}$; $\vec{n_2} =(-2;-4) =-2\vec{n}$; $\vec{n_3} =(\frac{1}{4};\frac{1}{2}) =\frac{1}{4}\vec{n}$… cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$. Tham khảo bài giảng: 2. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳngDạng 1:Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng tổng quát $ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\neq 0$ thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ là $\vec{n}=(a;b)$ Dạng 2:Nếu bài toán cho đường thẳng ở dạng phương trình tham số $\left\{\begin{array}{ll}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{array}\right. t\in Z; (a^2+b^2\neq 0)$ hoặc ở dạng phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$ $(a\neq 0, b\neq 0)$ thì ta tìm vectơ pháp tuyến thông qua vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng trong trường hợp này là $\vec{u}=(a;b)$, khi đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ là $\vec{n}=(-b;a)$ hoặc $\vec{n}=(b;-a)$ Dạng 3:Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng thường liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, liên quan tới các đường trong tam giác như: đường cao, đường trung trực, hai đường phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc, đường tiếp tuyến với đường tròn. Tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông Dạng 4:Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với một đường thẳng $d’$ có phương trình: $ax+by+c=0$ thì ta làm như sau:
Đường thẳng song song với đường thẳng thường liên quan tới các đường như: đường trung bình trong tam giác, đường trung bình trong hình thang, tính chất của các hình như: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông, tính chất từ vuông góc tới song song. Xem thêm: Tọa độ trong mặt phẳng Đó là những phương pháp cơ bản mà chúng ta thường gặp trong việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng khi viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Bài viết này chỉ là tập hợp lại kiến thức rơi vãi ở một số nơi, giúp các bạn có cái nhìn tổng quan hơn trong việc đi tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Điều mà nhiều bạn rất cần để có cái nhìn tổng quan hơn.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
– Véctơ pháp tuyến: Véctơ $\vec{n} \neq 0$ gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$. – Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$: Hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên $(\alpha)$  Chú ý: – Nếu $\vec{n}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $k\vec{n}$ cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. – Nếu hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]$. Ví dụ: – Nếu $\vec{n}=(1;2;3)$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì $\vec{a}=(2;4;6)$ hoặc $\vec{b}=(3;6;9)$ hoặc $\vec{c}=(-1;-2;-3)$ cũng là những véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) – Nếu hai véctơ $\vec{a}=(2;1;2)$ và $\vec{b}=(3;2;-1)$ là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $(\alpha)$ thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]$ được xác định như sau: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]=\left(\left | \begin{array}{ll}1&2 \\2&-1 \end{array} \right. |;\left | \begin {array}{ll}2&2\\-1&3 \end{array} \right. |;\left | \begin{array}{ll}2&1\\3&2 \end{array} \right | \right. )= (-5;8;1)$ Xem thêm: Cách xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng– Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ bất kì trong không gian có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 +B^2 + C^2 >0$ – Nếu mặt phẳng $(P)$ bất kì có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ thì véctơ pháp tuyến của $(P)$ là : $\vec{n}=(A;B;C)$ – Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=(A;B;C)$ có dạng: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ Chú ý: Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện: + Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua Bài giảng nên xem: 4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian phải dùng 3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳngTrong bảng trên các bạn thấy khi trong phương trình mặt phẳng của chúng ta không chứa ẩn nào thì mặt phẳng đó sẽ song song hoặc chứa trục đó. Nếu trong phương trình mặt phẳng của chúng ta không chứa 2 ẩn bất kì nào thì mặt phẳng đó song song với mặt phẳng chứa hai trục đó, hoặc trùng với mặt phẳng chứa 2 trục đó. Ví dụ: Ở dòng thứ 2 trong bảng, phương trình mặt phẳng của chúng ta khuyết ẩn x, nên mặt phẳng sẽ song song hoặc chứa trục ox. Ở dòng thứ 5 trong bảng phương trình mặt phẳng khuyết 2 ẩn x và y, nên mặt phẳng sẽ song song với mặt phẳng (oxy) hoặc trùng với mặt phẳng (oxy). 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình như sau: (P): $Ax + By + Cz + D=0$ và (Q): $A’x + B’y + C’z + D’=0$ – Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}$ – Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}$ – Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}$ – Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: $AA’ + BB’ +CC’ = 0$. (biểu thức này chính là tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)). 5. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳngCho điểm $M(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Ax + By + Cz + D= 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ tới mặt phẳng $(P)$ được xác định như sau: $d(M,(P)) = \frac{|Aa + Bb + Cc + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ Ví dụ: Khoảng cách từ điểm $A(1;2;3)$ tới mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $2x + 3y -z +4 =0$ là: $d(A,(P)) = \frac{|2.1 + 3.2 -1.3 + 4|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|9|}{\sqrt{14}} = \frac{9}{\sqrt{14}}$ Bài giảng nên xem: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 6. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắnPhương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $3$ điểm $A(a;0;0);B(0;b;0); C(0;0;c)$ có dạng là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a.b.c \neq 0$. Trong đó $A\in Ox; B\in Oy; C\in Oz$. Khi đó $(P)$ được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Bài giảng nên xem: Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Dưới đây là hai bài tập để các bạn tham khảo. Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:a. Đi qua $M(3;1;1)$ và có VTPT $\vec{n}=(-1;1;2)$ b. $(P)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ cho trước với $A(2;1;1)$ và $B(2;-1;-1)$ c. Đi qua $M(1;2;-3)$ và có cặp VTCP là $\vec{a}=(2;1;2)$ và $\vec{b}=(3;2;-1)$ d. Đi qua $3$ điểm không thẳng hàng $A(1;-2;4); B(3;2;-1); C(-2;1;-3)$ Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ biết:a. $(P)$ đi qua điểm $M(2;1;5)$ và song song với các mặt phẳng tọa độ b. $(P)$ đi qua điểm $M(2;1;5)$ và song song với mặt phẳng $(Q): x-2y+z-10=0$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ |
