Đề bài
AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn [O; R]. Kẻ dây CE qua trung điểm I của bán kính OB, kẻ đường cao AH của ACE.
a]Tính CE, AH và diện tích ACE theo R.
b] Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, I, E tiếp xúc với đường thẳng AC.
c] Gọi K là giao điểm của AE và BD. Chứng minh: \[AK.AE + BK.BD = 4R^2\]
d] Tính thể tích của hình khối sinh ra do CID quay quanh CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân cos góc kề
+Tính chất tam giác đồng dạng
+ Diện tích tam giác bằng nửa tích đáy nhân chiều cao
+ Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau
+ Thể tích của hình nón: \[{V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h \]
Lời giải chi tiết
a] COI vuông tại O [gt], ta có :
\[CI = \sqrt {C{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left[ {{R \over 2}} \right]}^2}}\]\[\; = {{R\sqrt 5 } \over 2}\]
\[ \Rightarrow cos\widehat {OCI} = {{OC} \over {CI}} = {R \over {{{R\sqrt 5 } \over 2}}} = {{2\sqrt 5 } \over 5}\]
Lại có CED vuông [ CD là đường kính] nên
\[CE = CD.cos\widehat {OCI} = 2R.{{2\sqrt 5 } \over 5} \]\[\;= {{4R\sqrt 5 } \over 5}\]
Xét hai tam giác vuông AHI và COI có \[\widehat {HAI} = \widehat {OCI}\] [ cùng phụ với \[\widehat {OIC}\]]
Do đó AHI và COI đồng dạng [g.g] \[ \Rightarrow {{AH} \over {CO}} = {{AI} \over {CI}}\]
\[ \Rightarrow AH = {{CO.AI} \over {CI}} = \left[ {R.{{3R} \over 2}} \right]:{{R\sqrt 5 } \over 2}\]\[\; = {{3\sqrt 5 R} \over 5}\]
Vậy \[{S_{ACE}} = {1 \over 2}AH.CE = {1 \over 2}.{{3\sqrt 5 R} \over 5}.{{4R\sqrt 5 } \over 5}\]\[\; = {{6{R^2}} \over 5}\].
b] Ta có \[AB\bot CD\] [gt] mà \[\widehat {CBA} = \widehat {CEA}\] [ góc nội tiếp cùng chắn ]
\[ \Rightarrow \widehat {CAB} = \widehat {CEA}\] hay \[\widehat {CAI} = \widehat {IEA}\]
Do đó AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm A, I, E.
c] Xét AIE và AKB có \[\widehat {IAE}\] chung và \[\widehat {AEI} = \widehat {ABD}\] [ vì ] nên AIE và AKB đồng dạng [g.g] \[ \Rightarrow {{AK} \over {AI}} = {{AB} \over {AE}}\] \[\Rightarrow AK.AE = AI.AB\] [1]
Tương tự BKA và BID [g.g] \[ \Rightarrow {{BK} \over {BI}} = {{AB} \over {DB}}\] \[\Rightarrow BK.BD = AB.BI \] [2]
Cộng [1] và [2], ta có : \[AK.AE + BK.BD = AB[AI + BI] \]\[\,=AB^2= 4R^2\].
d] Khi tam giác CID quay quanh CD ta có thể tích hình sinh ra gồm hai hình nón bằng nhau và có chung đáy, bán kính \[OI = {R \over 2}\] và chiều cao OC.
Gọi Vn là thể tích của hình nón, ta có :
\[{V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h = {1 \over 3}\pi .{\left[ {{R \over 2}} \right]^2}R = {{\pi {R^3}} \over {12}}\]
\[\Rightarrow 2V = {{\pi {R^3}} \over 6}\].