Đề bài
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với [O] [A, B là các tiếp điểm]. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh:
a. \[CD = CA + DB\]
b. \[MN AB.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Sử dụng: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
b.Sử dụng: Định lý Talet
Lời giải chi tiết
a. Ta có: \[CA = CM, DB = DM\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau].
Mà \[CD = CM + MD \]\[\; CD = CA + DB.\]
b. Ta có: Ax, By là hai tiếp tuyến của [O] nên Ax // By [cùng vuông góc AB]
Theo định lí Ta-lét, ta có:
\[\eqalign{ & {{CA} \over {DB}} = {{NC} \over {NB}}\cr&\text{Mà }\,CA = CM,DB = DM \cr & \Rightarrow {{CM} \over {DM}} = {{NC} \over {NB}} \cr} \]
Theo Định lí Ta-lét đảo \[ MN // BD\]
Mà \[BD AB MN AB.\]