Đề bài
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, L lần lượt là trung điểm của AB, AD và đường chéo AC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AC tại H.
Chứng minh rằng: H là trực tâm của tam giác MNL.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Định nghĩa:Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
- Định lí :Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Trực tâm của tam giác là giao ba đường cao của tam giác đó.
Lời giải chi tiết
Ta có \[AC \bot BD\] [giải thiết] hay \[HL \bot BD\]
Mà \[MN// BD\] [do MN là đường trung bình của \[\Delta ABD\] ] \[ \Rightarrow HL \bot MN[1]\]
Lại có \[MH \bot CD\] [giả thiết]
\[NL// CD\] [do NL là đường trung bình của \[\Delta ACD]\]
\[ \Rightarrow MH \bot NL\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] ta có H là giao điểm hai đường cao MH và LH của tam giác MNL nên H là trực tâm của \[\Delta MNL.\]